数据结构图之二（最小生成树--普里姆算法）

来源：互联网发布：手机淘宝安全中心登入编辑：程序博客网时间：2024/05/23 10:30

【1】什么是最小生成树？

对于连通的带权图(连通网)G，其生成树也是带权的。

生成树T各边的权值总和称为该树的权。

权最小的生成树称为G的最小生成树(Minimum SpannirngTree)。简记为MST。

注意：最小是指权值最小

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它包含全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

求最小生成树有两种算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法最小代价生成树，都是针对无向图

不好理解？看不懂？能通俗点不？看个实例哈：

假设你是电信实施工程师，需要为一个镇的九个村庄架设通信网络做设计。

村庄位置大致如下图，之间连线的数字表示村与村间的可通达直线距离。

你们领导要求你必须用最小的成本完成这次任务。你说怎么办？

好，这就是很现实的一个最小生成树案例。且听下面详解。

【2】普里姆算法

利用普里姆算法要解决如上问题，首先我们构造图的邻接矩阵。如下图所示：

注意：实际中我们用65535来代表无穷大。

关于普里姆算法以及讲解如下图：

针对上面我们遇到的实际案例，普里姆算法执行循环过程如下图：

每次所选最小边分别如图1-图8 所示：

最后用所有边把各个顶点连通也就是所谓的最小生成树。

【3】普里姆算法的实现

实现代码如下：

/** * 最小生成树：两种方式，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法 * @author timmy1 * */public class MinSpanTree {int[][] matrix;// 矩阵int MAX_WEIGHT = Integer.MAX_VALUE;int size;// 顶点个数/** * 普里姆算法实现最小生成树：先初始化拿到第一个顶点相关联的权值元素放到数组中－》找到其中权值最小的顶点下标－》再根据该下标，将该下标顶点相关联的权值加入到数组中－》循环遍历处理 */public void prim(){int[] tempWeight = new int[size];// 临时存放顶点权值的数组，每次循环都要从中获取到最小权值和顶点下标int minWeight;//最小权值int minId;//最小权值顶点int sum = 0;//权值总和//先初始化将第一行的顶点权值存放到临时权值数组中for(int i =0;i<size;i++){tempWeight[i] = matrix[0][i];}PrintUtil.print("从顶点0开始查找");for(int i=1;i<size;i++){//每次循环都找出临时顶点权值的最小的权值minWeight = MAX_WEIGHT;minId = 0;for(int j=1;j<size;j++){if(tempWeight[j] >0 && tempWeight[j]<minWeight){minWeight = tempWeight[j];minId = j;}}//找到目标顶点minId,他的权值为minweight。PrintUtil.print("找到顶点:"+minId+" 权值为："+minWeight);sum+=minWeight;//根据找到的顶点minid，将这一行的所有相关联的顶点权值添加到临时权值数组中tempWeight[minId] = 0;for(int j = 1;j<size;j++){if(tempWeight[j] != 0&& matrix[minId][j]<tempWeight[j]){tempWeight[j] = matrix[minId][j];}}}PrintUtil.print("最小权值总和为："+sum);}private void createGraph(int index) {size = index;matrix = new int[index][index];int[] a0 = { 0, 10, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 11, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };int[] a1 = { 10, 0, 18, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, MAX_WEIGHT, 12 };int[] a2 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 0, 22, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 8 };int[] a3 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 22, 0, 20, MAX_WEIGHT, 24, 16, 21 };int[] a4 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 20, 0, 26, MAX_WEIGHT, 7, MAX_WEIGHT };int[] a5 = { 11, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 26, 0, 17, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };int[] a6 = { MAX_WEIGHT, 16, MAX_WEIGHT, 24, MAX_WEIGHT, 17, 0, 19, MAX_WEIGHT };int[] a7 = { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, 7, MAX_WEIGHT, 19, 0, MAX_WEIGHT };int[] a8 = { MAX_WEIGHT, 12, 8, 21, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 0 };matrix[0] = a0;matrix[1] = a1;matrix[2] = a2;matrix[3] = a3;matrix[4] = a4;matrix[5] = a5;matrix[6] = a6;matrix[7] = a7;matrix[8] = a8;}public static void main(String[] args) {MinSpanTree graph = new MinSpanTree();graph.createGraph(9);graph.prim();}}

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