0001算法--------全排列算法分析以及JAVA代码完美实现

全排列算法分析以及JAVA代码完美实现

一、问题描述

全排列：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。对于规模为n个元素的全排列，其全排列的组数为 n 的阶乘，即 n！= n x (n-1) x ( n - 2) ……x 1 组，其中n >= 0。

示例：给定一组元素｛a , b , c｝，其全排列为：

• a b c
• a c b
• b a c
• b c a
• c a b
• c b a

其全排列组数为：6 = 3！= 3 x 2 x 1。

二、 全排列算法分析

1. 从简单问题开始入手，当给定元素个数为1时。假设给定元素为 a，其全排列为其本身 a 。
2. 当给定元素个数为2时。假设给定元素为｛a，b｝，其全排列为：a b，b a 。此时我们可以将问题进行拆分。即将｛a，b｝拆分成元素 a ，和剩下元素组即｛b｝的情况以及将｛a，b｝拆分成元素 b ，和剩下元素组即｛a｝的情况。

对于第一种情况，拆分后的全排列为：a的全排列和｛b｝的全排列，即 a b 。

对于第二种情况，拆分后的全排列为：b的全排列和｛a｝的全排列即， b a 。

所以，对于给定元素为｛a，b｝时，其全排列为：

• a b
• b a

3. 当给定元素个数为3时。假设给定元素为｛a，b，c｝，其全排列为：

a b c，a c b，b a c，b c a，c a b，c b a。

此时我们可以将问题进行拆分。

将｛a，b，c｝拆分成元素 a ，和剩下元素组即｛b，c｝的情况。

将｛a，b，c｝拆分成元素 b ，和剩下元素组即｛a，c｝的情况。

将｛a，b，c｝拆分成元素 c ，和剩下元素组即｛a，b｝的情况。

对于第一种情况而言，元素a的全排列为a，元素组｛b，c｝全排列为 b c，c b。即为

a b c，a c b。同理对于第二种情况为：b a c，b c a。第三种情况为：c a b，c b a。

4. 当给定元素个数为 n 时。假设给定元素为｛r1，r2，r3，……rn｝，此时我们可以将问题进行上述进行拆分，拆分为：

r1和｛r2，r3，……，rn｝、

r2和｛r1，r2，……，rn｝……

rn和｛r1，r2，……，rn-1｝。

对于拆分后的｛r2，r3，……，rn｝、｛r1，r2，……，r4｝……｛r1，r2，……，rn-1｝。又可以继续进行上述拆分。最终将问题规模将被拆分一个元素。

5. 归纳总结，设R=｛r1，r2，……，rn｝是要进行排列的n个元素，Ri = R - ｛ri｝。集合X中元素的全排列记为perm（X）。（ri）perm（X）表示在全排列perm（X）的每一个排列前加上前缀ri得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：

• 当 n = 1时，perm（R）=（r），其中r是集合R中唯一的元素；
• 当 n > 1时，perm（R）由（r1）perm（R1），（r2）perm（R2），……，（rn）perm（Rn）构成。对于表达式（ri）perm（Ri）中的ri即为上述第4点中的拆分后的单个元素，Ri为剩下的元素组。

三、JAVA代码实现

public class Permutation {/* * 产生str[s:e]中的元素全排列 */public static void permutation(String[] str, int s, int e){//将问题规模为n的一组元素不断进行拆分，拆分到只剩一个元素的情况if( s == e) {for (int i = 0; i <= e; i++) {System.out.print(str[i]);}System.out.println();} else {for (int i = s; i <= e; i++) {swap(str, s, i);//将问题规模为s:e的情况进行拆分，拆分为 1 和 s+1:e 的情况，并对s+1:e的问题进行递归调用，继续进行分割permutation(str, s + 1, e);swap(str, s, i);}}}/* * 对作为参数的数组str，交换第i和第j个元素 */public static void swap(String[] str, int i, int j){String temp = (String) str[i];str[i] = str[j];str[j] = temp;}/* * 测试主方法 */public static void main(String[] args) {String[] list = new String[]{"a","b","c","d","e","f"};permutation(list, 0, 5);}}