动态规划总结

动态规划是一种解决最优化问题的方法，动态规划最大的特点是变化多端，解题方法不是按照一定套路来的。

动态规划一般是能分阶段的问题，可以把大问题转化为小问题，充分利用计算机重复处理问题的特点，把这个问题解决掉。并且动态规划中的变量都是有一定含义的，每个变量都有它所包含的意思，比如：在最长上升子序列这个题中，dp[n]代表了以第n个数结尾的最长子序列的长度。最重要的是动态规划问题要有状态转移方程，这个方程不一定是数学公式，有时候是前后之间的某种关系，一般能够推出公式的题都是比较简单的，难得是找不到一个公式。

动态规划有两个原理，最优化原理和无后效性原理，最优化原理指的是一个阶段的最优解要能导致全局的最优。无后效性原理是当前的最优解确定了，不会再受到其他变化的影响，只与推出它来的状态转移方程有关。

做了很多动态规划题，感觉这种题的核心代码都是循环结构，一般是两重循环，还有三重的。毕竟动态规划是要不断重复计算嘛。

动态规划的一般解题步骤：

1。。分阶段

2。。确定变量的状态，其实我感觉分阶段和确定变量状态没有谁先谁后，有时候是一起想出来的。

3。。找出状态转移方程（不一定是公式）。

4。。确定边界条件。。因为状态转移一般是公式，所有要有结束条件。

动态规划中一种题叫做背包问题。

有三种基础背包问题  ：01背包，完全背包，多重背包，

还有一些复杂了一些的背包问题：混合了前面三种背包的背包问题，分组背包，有两个价值的背包，背包方案数问题。

01背包

n个物品放在容量为v的背包里，第i个物品的价值是c[i]，体积是w[i]。每件物品只能拿一次。

这就是01背包，红色字体是它和其他基础背包问题的区别。

背包问题一般都有“套路”，也就是相同背包问题大部分的思路代码差不多。

dp[i][j]表示第i个物品放在容量为j的背包里的最大价值。

比如01背包就是两重循环

for  int  i=1......n

for  int  j=n.....w[i]

循环里面就是最关键的状态转移方程。

完全背包

n个物品放在容量为v的背包里，第i个物品的价值是c[i]，体积是w[i]。每件物品可以拿无限次。

也是两重循环。

for int i=1......n
for int j=w[i].....n

多重背包

n个物品放在容量为v的背包里，第i个物品的价值是c[i]，体积是w[i]。每件物品可以拿有限次。

还是两重循环，不过在里面有次数的限制，可以再加一层循环，或者设置一个计算物品次数控制变量。

这两重循环和多重背包一样。

剩下的背包问题都是在这三种背包基础上的变形，只要掌握了这三种背包，其他的背包仔细思考一下也能解决。

动态规划问题可以用滚动数组的方法节省空间，动态规划问题中，尤其是背包问题 ，有很多都是用前一状态的变量推出后一状态的变量，这就可以用滚动数组的方法来节省空间。就是二维数组可以用一维数组来代替，因为另外一维本来就是记录状态的作用。

二进制思想，在多重背包问题中可能要用到，每个数都可以用多个2的n次方来表示，比如26=2^4+2^3+2^1.这样就可以把一个数变成多个数，把多重背包的一个物品变成01背包的多个物品。就可以按照01背包的思想做题了。

在动态规划中有很多题可以用递归函数做，也可以用递推公式加双重循环做，一般数据量大的用递推公式，小的可以用递归函数，有些很多并且要处理多组数据的也可以加上预处理，记忆化搜索什么的。

在动态规划中特殊问题可以用二分法和贪吃算法来做，就是正在学习这部分，二分法是求最大值的最小值，最小值的最大值问题。贪吃是只考虑局部最优，不考虑全局最优，可以减少一层循环。