每日三题-Day1-B(HDOJ 1024 Max Sum Plus Plus 最大m子段和)
来源:互联网 发布:c语言有什么用途 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 19:27
Max Sum Plus Plus
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 12589 Accepted Submission(s): 4146
Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 ... Sx, ... Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + ... + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).
Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + ... + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).
But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^
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【问题描述】----最大M子段和问题
给定由 n个整数(可能为负整数)组成的序列a1,a2,a3,……,an,以及一个正整数 m,要求确定序列 a1,a2,a3,……,an的 m个不相交子段,
使这m个子段的总和达到最大,求出最大和。
动态规划的思想。
1.基本思路:
首先,定义数组num[n],dp[m][n].
num[n]用来存储n个整数组成的序列.
dp[i][j]用来表示由前 j项得到的含i个字段的最大值,且最后一个字段以num[j]项结尾。仔细想想,我们可以知道:
dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+num[j],dp(i-1,t)+num[j]) 其中i-1<=t<=j-1.
(因为必须是以 num[j] 结尾的,所以num[j]一定属于最后一个子段,即要么自己独立成一个子段,要么与前边以num[j-1]结尾的子段联合)
所求的最后结果为 max( dp[m][j] ) 其中1<=j<=n.
但是,我们会发现,当n非常大时,这个算法的时间复杂度和空间复杂度是非常高的,时间复杂度近似为O(m*n^2),
空间复杂度近似为O(m*n).因此,我们需要优化算法来降低时间复杂度和空间复杂度.
2.优化算法:
(1)节省时间
由基本思路,我们可以知道,dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+num[j],dp(i-1,t)+num[j]),其中i-1<=t<=j-1.我们只要找到dp[i][j-1]
和dp[i-1][t]的最大值加上num[j]即为dp[i][j].所以,定义一个数组pre_max[n],用pre_max[j-1]来表示求解dp[i][j]时dp[i-1][t]
的最大值,则dp[i][j]=max(pre_max[j-1],dp[i][j-1])+num[j].
特别注意,pre_max[n]这个位置的存储空间是始终用不到的,因此可以用来存储其他数值,在接下来会用到。
在求解dp[i][j]的同时,我们可以计算出dp[i][t];i<=t<=j的最大值,这个最大值在计算dp[i+1][j+1]的时候需要作为pre_max[j]的
形式被使用,我们先把它存在pre_max[n]中。
你可能会问:为什么不把它直接放在pre_max[j]中呢?因为你接下来需要计算dp[i][j+1]的值,需要用到pre_max[j]中原来的值,
如果你把它存在这里,就会覆盖掉计算dp[i][j+1]所需要的那个值。所以,先把它放在pre_max[n]中。
当我们计算完dp[i][j+1]之后,就会发现pre_max[j]中的值已经没有用处了,我们可以把它更新为计算dp[i+1][j+1]所需要的那个值,
即之前放在pre_max[n]中的那个值,即执行pre_max[j]=pre_max[n].
这样我们就节省了计算最大值时付出的时间代价。
(2)节省空间
通过时间的节省,我们突然间发现程序执行结束后pre_max[n]的值即为最后的结果,pre_max[n]数组才是我们希望求解的,
dp[m][n]这个庞大的数组已经不是那么重要了,因此,我们现在用整型数tmp来代替dp[m][n],用来临时存储dp[i][j]的值,
作为求解pre_max[n]的中介。
这样就节省了dp[i][j]占用的极大的空间.
题解转载自http://www.cnblogs.com/dongsheng/archive/2013/05/28/3104629.html
AC代码:
#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int num[1000010];int premax[1000010];int main(){ int m,n; while(~scanf("%d%d",&m,&n)) { for(int i=0; i<n; i++) { scanf("%d",&num[i]); premax[i]=0; } for(int i=1; i<=m; i++) { int dp = 0; for(int j=0; j<i; j++) { dp+=num[j]; } premax[n]=dp; for(int j=i; j<n; j++) { dp=max(premax[j-1],dp)+num[j]; premax[j-1]=premax[n]; premax[n]=max(premax[n],dp); } } printf("%d\n",premax[n]); } return 0;}
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