数据结构之中缀表达式转前缀和后缀

来源：互联网发布：淘宝童装促销文案编辑：程序博客网时间：2024/06/07 04:54

举例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：

扫描到的元素

S2(栈底->栈顶)

S1 (栈底->栈顶)

说明

空

数字，直接入栈

S1为空，运算符直接入栈

)

- )

右括号直接入栈

5 4

- )

数字直接入栈

5 4

- ) ×

S1栈顶是右括号，直接入栈

)

5 4

- ) × )

右括号直接入栈

5 4 3

- ) × )

数字

5 4 3

- ) × ) +

S1栈顶是右括号，直接入栈

5 4 3 2

- ) × ) +

数字

(

5 4 3 2 +

- ) ×

左括号，弹出运算符直至遇到右括号

(

5 4 3 2 + ×

同上

5 4 3 2 + ×

- +

优先级与-相同，入栈

5 4 3 2 + × 1

- +

数字

到达最左端

5 4 3 2 + × 1 + -

空

S1中剩余的运算符

因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：

1）如果遇到操作数，我们就直接将其输出。

2）如果遇到操作符，则我们将其放入到栈中，遇到左括号时我们也将其放入栈中。

3）如果遇到一个右括号，则将栈元素弹出，将弹出的操作符输出直到遇到左括号为止。注意，左括号只弹出并不输出。

4）如果遇到任何其他的操作符，如（“+”， “*”，“（”）等，从栈中弹出元素直到遇到发现更低优先级的元素(或者栈为空)为止。弹出完这些元素后，才将遇到的操作符压入到栈中。有一点需要注意，只有在遇到" ) "的情况下我们才弹出" ( "，其他情况我们都不会弹出" ( "。

5）如果我们读到了输入的末尾，则将栈中所有元素依次弹出。

例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：

扫描到的元素

S2(栈底->栈顶)

S1 (栈底->栈顶)

说明

空

数字，直接入栈

S1为空，运算符直接入栈

(

+ (

左括号，直接入栈

(

+ ( (

同上

1 2

+ ( (

数字

1 2

+ ( ( +

S1栈顶为左括号，运算符直接入栈

1 2 3

+ ( ( +

数字

)

1 2 3 +

+ (

右括号，弹出运算符直至遇到左括号

1 2 3 +

+ ( ×

S1栈顶为左括号，运算符直接入栈

1 2 3 + 4

+ ( ×

数字

)

1 2 3 + 4 ×

右括号，弹出运算符直至遇到左括号

1 2 3 + 4 × +

-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-

1 2 3 + 4 × + 5

数字

到达最右端

1 2 3 + 4 × + 5 -

空

S1中剩余的运算符

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。

编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：

注：
(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。

后序表达式：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <stack>

#include <cstring>

using namespace std;

char a[1005];

string S1,S2;

int jibie(char a)

{

int flag;

switch(a)

{

case '+': flag=1;break;

case '-':flag=1;break;

case '*':flag=2;break;

case '/':flag=2;break;

default :flag=0;

}

return flag;

}

void conversion()

{

stack<char>Q;

char a;

a='#';

Q.push(a);

int i=0,m=S1.length();

while(i<m)

{

a=Q.top();

if(S1[i]=='(')

{

Q.push(S1[i]);

i++;

}

else if(S1[i]==')')

{

while(a!='(')

{

S2=S2+a+'#';

Q.pop();

a=Q.top();

}

Q.pop();

i++;

}

else if(S1[i]=='+'||S1[i]=='-'||S1[i]=='*'||S1[i]=='/')

{

while(jibie(a)>=jibie(S1[i]))

{

S2=S2+a+'#';

Q.pop();

a=Q.top();

}

Q.push(S1[i]);

i++;

}

else

{

while((S1[i]>='0'&&S1[i]<='9')||S1[i]=='.')

{

S2=S2+S1[i];

i++;

}

S2+='#';

}

while(!Q.empty())

{

a=Q.top();

Q.pop();

if(a!='#')

{

S2=S2+a+'#';

}

//cout<<S2<<endl;

}

void Zhi()

{

int m=S2.length();

int i=0;

double num=0,a,b;

stack<double>W;

int num1=1;

while(i<m){

switch(S2[i])

{

case '+': a=W.top();W.pop();b=W.top();W.pop();a=a+b;W.push(a);i++;break;

case '-': a=W.top();W.pop();b=W.top();W.pop();a=b-a;W.push(a);i++;break;

case '*': a=W.top();W.pop();b=W.top();W.pop();a=a*b;W.push(a);i++;break;

case '/': a=W.top();W.pop();b=W.top();W.pop();a=b/a;W.push(a);i++;break;

default:

{

if(S2[i]>='0'&&S2[i]<='9'&&num1==1){

num=num*10+S2[i]-'0';

if((S2[i+1]<'0'&&S2[i+1]!='.')||(S2[i+1]>'9'&&S2[i+1]!='.'))

{

// printf("bbbbbbbbbbb%lf\n",num);

W.push(num);

}

else if(S2[i]=='.') {

num1=num1*10;

}

else if(S2[i]>='0'&&S2[i]<='9'&&num1!=1){

num=num+(S2[i]-'0')/(num1*1.0);

num1=num1*10;

if(S2[i+1]<'0'||S2[i+1]>'9'){

W.push(num);

//printf("bbbbbbbbbbb%lf\n",num);

}

else

{

num1=1;

num=0.0;

}

i++;

}

printf("%.2lf\n",W.top());

}

int main()

{

int T;

scanf("%d",&T);

while(T--)

{

cin>>S1;

S2="";

conversion();

Zhi();

}

return 0;

}

先序表达式

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <ctype.h>

#define maxn 5000

struct Node {

double dig;

char sym;

} sta[maxn];

char buf[maxn];

double cal(double a, double b, char c) {

if(c == '+') return a + b;

if(c == '-') return a - b;

if(c == '*') return a * b;

return a / b;

}

int main() {

// freopen("stdin.txt", "r", stdin);

double val;

int wid;

while(gets(buf)) {

for(int i = 0, id = 0; buf[i] != '\0'; ++i) {

if(buf[i] == ' ') continue;

if(isdigit(buf[i]) || buf[i] == '.') {

sscanf(buf + i, "%lf%n", &val, &wid);

while(id && !sta[id-1].sym) {

val = cal(sta[id-1].dig, val, sta[id-2].sym);

id -= 2;

}

sta[id].dig = val; sta[id++].sym = 0;

i = i + wid - 1;

} else sta[id++].sym = buf[i];

}

printf("%.2lf\n", sta[0].dig);

}

return 0;

}

0 0