最长上升子序列

问题描述：

输入一串数字（无序），求最长上升子序列的长度，如输入“3，1，4，2，3，5”，输出4，因为最长上升子序列为“1，2，3，5”。

解法：

• 动态规划
  用动态规划的思想，假设p[i]表示以nums[i]为末尾的最长上升子序列长度，则有如下最优子结构：
  
  p[i]={1max0≤k<i(p[k] | nums[k]<nums[i])+1i=0i=1,2,...,n−1
  时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)。

class Solution {public:    vector<int> p;    int getLength(vector<int>& nums, int k)    {        //求以p[k]为末尾的最长上升子序列长度        if (p[k] != 0) return p[k];        else if (k == 0)            p[0] = 1;        else         {            int maxL = 0;            for (int i = 0; i < k; i++)            {                int temp = getLength(nums, i);                if (nums[k] > nums[i] && temp > maxL)                    maxL = temp;            }            p[k] = maxL + 1;        }        return p[k];    }    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {        p.assign(nums.size(),0);        int maxL = 0;        for (int i = 0; i < nums.size(); i++)        {            int temp = getLength(nums, i);            if (temp > maxL)                maxL = temp;                 }        return maxL;    }};

• O(nlogn)解法，一个神奇的方法
  同样引入数组p，但p[i]所表示的含义不一样，p[i]指上升子序列长度为i+1时的尾数，举个例子“1，3，1，2，3”，p[0]=1，p[1]=2，p[2]=3，p是个递增的数组。
  从左至右考察数组nums，当考察nums[k]时，从左至右遍历数组p，查找首个p[i]>=nums[k]：

  • 如果没有找到，则数组p在末尾新添成员，值为nums[k]，表示多了一个更长的上升子序列，且序列尾数为nums[k]；
  • 如果找到首个p[i]>=nums[k]，则p[i]要被替换成nums[k]，因为只有p[i]变得更小，才能在后面的考察中找到更长的子序列。拿刚刚的例子来说，p[1]也可以为3，为什么后来为2，因为只有这样，p[2]才会被新添进来，成为更长的子序列；

  如果是普通的遍历查找，那时间复杂度还是O(n^2)，但如果是二分查找，时间复杂度就是O(nlogn)。

class Solution {public:    int binarySearch(vector<int>& p, int s)    {        //从左至右遍历数组p，查找首个p[i]>=s的下标        int l = 0, r = p.size() - 1;        while (l <= r)        {            int mid = (l + r) / 2;            if (p[mid] >= s) r = mid - 1;            else l = mid + 1;        }        return r + 1;    }//如果没有找到返回接下来要放的位置    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {        vector<int> p;        for (int i = 0; i < nums.size(); i++)        {            int temp = binarySearch(p, nums[i]);            if (temp == p.size())                p.push_back(nums[i]);            else p[temp] = nums[i];        }        return p.size();    }};