[bzoj4671]异或图

题目描述

定义两个结点数相同的图 G1 与图 G2 的异或为一个新的图 G, 其中如果 (u, v) 在 G1 与
G2 中的出现次数之和为 1, 那么边 (u, v) 在 G 中, 否则这条边不在 G 中.
现在给定 s 个结点数相同的图 G1…s, 设 S = {G1, G2, … , Gs}, 请问 S 有多少个子集的异
或为一个连通图?

斯特林反演

用贝尔数的时间来枚举子集划分。
规定被划分到不同子集的之间一定无边，在同一个子集则没有约束。
考虑求它的方案数。
那么就是要求自由元数量。
可以考虑维护线性基。
求出自由元数量k，就是2^k。
容斥系数怎么定？
假设划分为m个子集，容斥系数即为(−1)m−1∗(m−1)!
假设一个图有n个联通块，它会被计算多少次？
∑nm=1(−1)m−1∗(m−1)!∗S(n,m)
S表示第二类斯特林数。
可以证明，n=1时也就是图联通时它为1，否则它为0。
那就刚好是答案！
如何证明？
首先n=1时答案成立，接下来证明n>=2时它为0。
比较懒贴一份草稿

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long ll;const int maxs=60+10,maxn=10+10;ll fac[maxn],two[maxs],t,ans;int co[maxn];ll eq[maxs];bool dis[maxs][maxn][maxn];int i,j,k,l,n,m,s,len,top,tot;char h[maxn*maxn];int read(){    char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'1') ch=getchar();    return ch-'0';}void dfs(int x,int m){    if (x==n+1){        int i,j,k;        top=0;        fo(i,1,n-1)            fo(j,i+1,n)                if (co[i]!=co[j]){                    t=0;                    fo(k,1,s)                        if (dis[k][i][j]) t+=two[k-1];                    fo(k,1,top)                        if ((t^eq[k])<t) t^=eq[k];                    if (t) eq[++top]=t;                }        ans+=fac[m-1]*two[s-top];        return;    }    int i;    fo(i,1,m+1){        co[x]=i;        dfs(x+1,m+(i>m));    }}int main(){    freopen("graph.in","r",stdin);freopen("graph.out","w",stdout);    scanf("%d",&s);    scanf("%s",h+1);    len=strlen(h+1);    fo(n,1,10)        if (n*(n-1)/2==len) break;    t=0;    fo(i,1,n-1)        fo(j,i+1,n)            dis[1][i][j]=h[++t]-'0';    fo(k,2,s)        fo(i,1,n-1)            fo(j,i+1,n)                dis[k][i][j]=read();    fac[0]=two[0]=1;    fo(i,1,n) fac[i]=-(ll)fac[i-1]*i;    fo(i,1,s) two[i]=two[i-1]*2;    dfs(1,0);    printf("%lld\n",ans);}