背包问题

01背包

有 n 个重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。

例题链接：gdu 1131 背包1

设dp[i]为体积为i的背包能容纳的最大价值，
显然，每个物品只有拿与不拿两种状态，所以：
dp[i] = max(dp[i], dp[i-w[i]] + v[i]

完整代码：

#include <cstdio>#include <cstring>const int maxn = 10000 + 10;int w[maxn], v[maxn];int dp[1010];inline int max(int x, int y){    return x > y ? x : y;}int main(){    int n, W;    while(scanf("%d%d", &n, &W) == 2){        memset(dp, 0, sizeof(dp));        for(int i = 0; i < n; i++)            scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);        for(int i = 0; i < n; i++)            for(int j = W; j >= 0; j--){                if(j >= w[i]){                    dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);                }            }        printf("%d\n", dp[W]);    }    return 0;}

完全背包

有 n 种（每一种有无数个）重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。

例题链接：gdu 1133 背包3

完全背包与01背包的区别在于，每种物品有无数种，所以，只需将01背包代码中的
for(int j = W; j >= 0; j--)
改成
for(int j = 0; j <= W; j++)

例如，W = 4， w[1] = 1, v[1] = 2
现在只考虑第一个物品，执行for(int j = 0; j <= W; j++)
j = 1 时
dp[1] = max(dp[1], dp[0] + v[1]) = 2
j = 2 时
dp[2] = max(dp[2], dp[1] + v[1]) = 4

计算dp[2]的时候，物品1被取了两次，
而for(int j = W; j >= 0; j--)就不会重复选取同一个物品，因为计算dp[i]时，dp[i-w[j]]还没计算。

多重背包

有 n 种（每一种c[i]个）重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。

例题链接：hdu 2191

解多重背包背包问题，只需对01背包代码稍做更改：

for(int i = 0; i < m; i++)    for(int j = n; j >= 0; j--)        for(int k = 1; k*v[i] <= j && k <= c[i]; k++)            dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*v[i]] + w[i]*k);

需要注意的是，for(int j = n; j >= 0; j--)
不能写成 for(int j = 0; j <= n; j++)
因为那样的话，dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*v[i]] + w[i]*k)中的 dp[j-k*v[i]] 有可能已经计算过第i件物品，造成第i件物品被取超过c[i]次。

其他背包问题

(1)有 n 个重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量刚好为 W 的物品
，求所有方案中价值总和的最大值。

例题链接：gdu 1132 背包2

只需在01背包代码基础上，把dp数组初始化为-1, 若dp[n]计算结果为-1，说明不能填满。

(2)有 n 个重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。
输入包含多组测试用例，每一例的开头为两位整数 n、W;接下来有 n 行，每一行有两位整数 Wi、Vi
其中
1<=n<=100
1<=W<=1000,000,000
1<=Wi<=10,000,000
1<=Vi<=100。

例题链接：gdu 1134

这题看上去是01背包，但是总重量太大所以不能对重量dp，考虑对价值dp。

完整代码：

import java.util.Scanner;public class Main{    static int maxn = 10005;    static int inf = 1000000050;    public static void main(String[] args){        Scanner scan = new Scanner(System.in);        while(scan.hasNextInt()){            int[] dp = new int[maxn];            dp[0] = 0;            for(int i=1; i<maxn; i++)                dp[i] = inf;            int N = scan.nextInt();            int W = scan.nextInt();            for(int j=0; j<N; j++){                int w = scan.nextInt();                int v = scan.nextInt();                for(int i = maxn-1; i>=v; i--)                    dp[i] = min(dp[i], dp[i-v]+w);            }            int ans = 0;            for(int i=0; i<maxn; i++)                if(dp[i]<=W)                    ans = i;            System.out.println(ans);        }    }    public static int min(int a, int b){        return a>b?b:a;    }}// C/C++打烦了，偶尔换java