[快速幂]XDOJ-Problem E Hanoi Tower

问题描述

汉诺塔是一个非常好玩的游戏。 XDU ACM 2014 级女队的 nanf0621 经常和队友 Aloes 和 liuhanx1 一起玩汉诺塔，很久之后她们觉得很无聊，于是给自己增加了点难度，将每个盘子复制一份。那么她们希望知道，最少需要多少步，才能将 2n 个盘子从 A 杆移动到 C 杆？

普通汉诺塔的规则如下（摘自维基百科）：

有三根杆子 A， B， C。 A 杆上有 n 个穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至 C 杆：
• 每次只能移动一个圆盘。
• 大盘不能叠在小盘上面。
此题则是，有三根杆子 A， B， C。 A 杆上有 2n 个穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上单调不增，每种尺寸的盘子有 2 个。要求按下列规则将所有圆盘移至 C 杆：
• 每次只能移动一个圆盘。
• 大盘不能叠在小盘上面，大小相同的盘可以互相叠放。
因为 nanf0621 也被杜神坑过，非常讨厌高精度，她希望知道答案对 2097151的模。

输入格式

输入包含多组数据（至多 1000 组），请处理至文件结束。
每组数据包含一个整数 n ，表示有 2n 个盘子。
输入保证 1 ≤ n ≤ 1018。

输出格式

对于每组数据输出 1 行，即最少移动步数对 2097151 的模。

输入输出样例

输入样例

1
2

输出样例

2
6

---

汉诺塔移动的最少步数

递推公式 A(n+1) = 2A(n)+1

假设层数为n的汉诺塔需要最少A(n)次移动，那么n+1个汉诺塔，先将n个汉诺塔从A移到B，需要A(n)步，将第n+1个汉诺塔移动到C，需要1步，最后将B上的n个塔移动到C，需要A(n)步。

公式 A(n) = 2^n - 1

---

思路

此题本质是计算2*（2^n - 1），由于n非常大（1 ≤ n ≤ 1018），所以如何求2^n至关重要。此处用到了快速幂算法。

---

快速幂

先放上代码

int poww(int a,int b){    int ans=1,base=a;    while(b!=0){        if(b&1!=0) //检查b二进制最后一位是不是0        　　ans*=base;        base*=base;        b>>=1; //b右移一位　 }    return ans;}

---

代码

#include<stdio.h>#define M 2097151long long n;long long poww(long long a, long long n){    long long ans = 1, base = a;    while(n != 0)    {        if(n&1 != 0) ans *= base % M;        base *= base % M;        n >>= 1;    }    return ans;}int main(){    while(scanf("%lld", &n) == 1)    {        printf("%lld\n", ( ( poww(2, n) - 1 )%M*2 )%M );    }    return 0;}