多源多目标统计信息融合-第二章单目标滤波

 第二章 单目标滤波

2.1简介

在单目标跟踪下介绍两个基本概念

①形式化统计建模

②递归的非线性贝叶斯滤波器

以卡尔曼滤波器为基础，对其重新表述得到了贝叶斯滤波器。

2.1.1 要点概括

• 贝叶斯视角下，卡尔曼滤波器可以重新表述。
• 卡尔曼方程实际上是贝叶斯规则的一个特例
• 贝叶斯理论框架为理解卡尔曼本质及其成立条件或失效条件提供了一种直观地视角
• 单目标递归贝叶斯滤波器—在解决其他方法难以奏效的应用问题时拥有巨大潜能
• 单目标贝叶斯滤波器的应用表现貌似简单，尤其是在关心实现的应用中
• 实际中，单目标贝叶斯滤波器的实时实现需要近似技术。
• 如果能够有效的建模传感器之间的相互关系，则单目标贝叶斯滤波器就可以为多传感器单目标数据融合提供一个严格的理论基础
• 一个不可忽视的问题：在什么情况下不太适合使用贝叶斯滤波器。什么情况下用传统方法足以解决问题
• 在启发式建模中，模型往往是ad Hoc型设计的，因此会受到现实世界的物理现象和实现技术的双重约束
• 形式化建模以独立于实现的统计模型为基础，可适用于原则近似技术
• 形式化贝叶斯建模的基本目标之一就是推导可如实反映观测和运动模型的真实似然函数和马尔科夫密度
• 形式化贝叶斯模型的 一个重要结果就是算法行为更容易于解释，究其原因，主要是与模型和设计过程有关的重要假设都分解为一套系统的、条理清楚的的推理程序。

2.2卡尔曼滤波器

卡尔曼滤波器是目前为止信息融合领域最为熟悉、应用最广的算法。

观测矢量Z^{k ：}z1,....zk;

状态矢量X_k|k;

常使用误差协方差矩阵p_{k|k度量Xk|k的估计误差。}

误差区间为：定义了以X_k|k为中心半径为1西伽马所有状态构成的超球，误差区间的多维推广；

（x00,p00）->(x10,p10)->x(x11,p11)->......

卡尔曼滤波器的基本步骤：

①初始化②预测器③校正器

2.2.1初始化

①初始化：目标状态初值x00,不确定性推测p00来对目标初始化，但不能选的太差，否则滤波过程可能会发散。

2.2.2预测器

②预测器：从k到k+1时刻目标发生了运动因此采用形式化模型来表示目标运动：；确定性运动模型xk+1=Fkx仅是一种假定，常常xk+1并不等于Fkx，而是包含一些扰动,这些扰动假定为零均值，协方差等于Qk的高斯随机矢量Vk，如果模型失配则增大Vk，Fk为状态转移矩阵。

2.2.3校正器

③校正器：外推得到预测结果后需要用真实的观测Zk+1来校正预测。

Zk+1=Hk+1x描述从状态到观测的转换确定性模型，由于包含一些内部噪声,这些扰动假定为零均值，协方差等于Rk的高斯随机矢量Wk。

因此可以推导出目标状态的最优估计：

2.2.4卡尔曼滤波器的推导

（略）http://blog.csdn.net/tudouniurou/article/details/6277520

2.2.5基于卡尔曼滤波器的观测融合

每个时刻卡尔曼滤波器选择不同的Hk+1和Wk+1因此卡尔曼滤波为传感器融合提供了一种可行方式。

如联合观测，合并多个模型方程。

联合的相关矩阵建模多个传感器的相关性，但会增加观测空间的维数。使得卡尔曼增益矩阵求逆运算大大增加。

常采用另一版本卡尔曼滤波器——信息卡尔曼滤波器（informantion kalman filter,IKF）该表示下。卡尔曼增益独立于联合观测空间维数。

2.2.6固定增益卡尔曼滤波器

因为求增益矩阵K需要极大地计算开销。一个普遍的想法假定K是常数。显然固定增益卡尔曼滤波器的表现不如卡尔曼滤波器。目标不存在快速机动且传感器噪声比较小的条件下才有较好的表现。最著名的就是阿尔法-贝塔滤波器就广泛应用于空中交通管制。

2.3卡尔曼滤波器的贝叶斯表示

我们追求的就是设计一个严密易用的滤波理论应对非传统信息和多目标等更通用的问题。

最小二乘形式的卡尔曼滤波器限制条件过于苛刻，从直观来看该表示提供的信息量有限。最小二乘方法颇为流行的原因主要是它便于数学上的处理，而不是它包含了深刻的见解或具有理论上的某种优越性。其他如总误差最小化而不是方差最小化并不缺乏合理性只是数学处理较为困难。

2.3.1数学预备知识

高斯分布概率密度函数：多维高斯分布的矩阵表达

2.3.2KF的贝叶斯表示：预测器

运动模型定义如下概率密度函数（马尔科夫转移密度）

该函数封装了运动模型包含的信息。若x离预测状态Fk x' 越近 fk+1|k(x|x')就越大；反之越小。

同样可定义如下概率密度来封装k时刻的卡尔曼状态估计Xk|k及其协方差矩阵Pk|k所包含的信息。

若x离Xk|k越近，概率fk|k(x|Zk)越大，反之亦然。

由于fk|k(x'|zk)表示目标状态为x’的先验概率密度，因而乘积fk+1|k(x|x')*fk|k(x'|Zk)表示了k时刻目标状态为x'而在k+1时刻状态为x的概率，对于所有的先验状态x'求积分可得全概率fk+1|k(x),它表示了k+1时刻的状态为x的概率。

fk+1|k(x)=积分fk+1|k(x|x')*fk|k(x'|Zk)dx'=积分NQk(x-Fx')*NPk|k(x'-xk|k)dx'

全概率公式意义：它是完全依赖概率密度函数表示的卡尔曼预测器的数学等价

2.3.3KF的贝叶斯表示：校正器

由观测模型定义的概率密度函数（似然函数）：

fk+1(z|x)=NRk+1(Z-Hk+1x)如实的封装了观测模型包含的的信息。

同样可以定义如下概率密度密度来封装k+1时刻的卡尔曼状态预测xk+1|k 及其协方差Pk+1|k包含的信息

fk+1|k(x|Zk)=Pk+1|k(x-xk+1|k)概率密度函数fk+1|k(x|Zk)封装了zk+1 之前的所有先验信息。使得Hk+1x距离zk+1越近的x概率密度fk+1(zk+1|x)越大反之越小。乘积=fk+1(zk+1|x)*fk+1|k(x|zk)就相当于采用新数据来调整先验密度fk+1|k(x|zk)。

fk+1|k+1(x)=乘积/积分乘积

因此上式的意义：它是完全依赖概率密度函数表示的卡尔曼滤波器的数学等价形式。

2.3.4KF的贝叶斯表示：估计

按照贝叶斯表示下的数据更新方程fk+1|k+1（x|zk+1）=Npk+1|k+1(x-xk+1|k+1)

2.4单目标贝叶斯估计

卡尔曼预测期和校正器是贝叶斯滤波器的特例。

2.4.2与卡尔曼滤波器的关系

为什么卡尔曼滤波器要用最小二乘形式：原因是限定了传感器具有线性高斯的统计特性。为了使贝叶斯方程具有解析解，马尔科夫转移密度和后验概率分布必须有线性高斯的形式，因而其二次型也可定义，这就决定了最小二乘优化是卡尔曼滤波器固有的优化方式。

卡尔曼滤波器假定传感器和目标的的行为都是良性的，从而可以用单峰不太歪斜后验分布表示单目标系统。当假设成立时表现出较好的特性。当假设不满足时，比如目标快速非线性激动或者信噪比很低，卡尔曼滤波器就会失效。

在采集数据率较小的情况下，目标机动期间的观测数据减少，后验概率的主模式和副模式相距较远，从而使高斯分布难以很好的近似后验概率，此时卡尔曼滤波器会发散，但贝叶斯滤波器正常工作。

在低信噪比情况下，如果非目标单元内的噪声很小，则后验分布具有单个优势模式（与目标相对应）以及大量的随机变化的微小副模式（由非目标像素处的噪声引入），副模式随着噪声功率增加而增加，它们在概率质量中所占比重越来越大，达到特定点后，副模式所占比例足够高以至于表现出多峰特性。贝叶斯后验概率程多峰状态，贝叶斯能够正确的精准的估计目标状态，但需要足够多的观测做递归处理后方可实现。snr越低，正确估计所需的的观测数就越多。

2.4.3建模

贝叶斯滤波方程为单传感器单目标问题提供了一个颇具潜力的强大理论依据。

贝叶斯滤波方程是概率理论中两个基本原理直接推论（全概率理论与贝叶斯规则）。

fk+1|k(x|x')（目标的马尔科夫转移密度）

Lk+1,z=Fk+1(z|x)(传感器似然函数)

如果似然函数不正确，那么任何所谓的最优性都是空谈，尤其是当似然函数的模型不太精确时，算法会浪费观测数据以克服与实际过程中的失配（或许会导致算法失效）对目标运动建模越精确，贝叶斯滤波器就月有效，否则将会小号一定量的数据来克服目标模型低效带来的负面影响。

建模分为启发式建模和形式化建模

启发式：指人在解决问题时采取一种根据经验规则进行发现的方法

应用问题的建模并非特别重要，重要的是算法内部的某些参数的调整

对物理过程理解的越肤浅，算法就需要越多的参数调整，从而造成更多的混乱和反复的修改

形式化：指分析研究思维的形式结构的方法

形式化方法把待搜索的算法解空间缩小到一个更容易处理的规模。

2.4.4形式化贝叶斯建模

单目标系统状态的数学建模

传感器观测的数学模型

目标的统计运动模型设计

传感器的统计运动模型设计

传感器的统计观测模型设计

根据运动模型构建真实马尔科夫转移密度

根据观测模型构建真实似然函数

2.5实现技术

形式化贝叶斯建模具有重要地位

2.5.1泰勒级数近似EKF

卡尔曼最初提出的滤波理论只适用于线性系统,Bucy，Sunahara 等人提出并研究了扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter，简称EKF)，将卡尔曼滤波理论进一步应用到非线性领域。EKF的基本思想是将非线性系统线性化，然后进行卡尔曼滤波，因此EKF是一种次优滤波。

2.5.2混合高斯（GMF）近似

混合高斯滤波器（Gaussian Mixture Filter，GMF）使用混合高斯分布替代卡尔曼滤波器中的高斯分布。卡尔曼滤波器的推广。

GMF假定马尔科夫转移密度和似然函数都是非线性的，这种非线性可用高斯密度的加权和（混合高斯密度）来近似。

2.5.3贯序蒙特卡洛

贯序蒙特卡洛（Sequential Monte Carlo）近似

采用SMC的近似滤波又叫粒子滤波，粒子系统滤波 或者 聚合（condensation）滤波

粒子系统引入状态矢量集合，重要性权值集合来近似后验分布。

通常假定所有例子有相同的重要性权值，粒子代表从后验分布中抽取的随机样本