青蛙跳台阶问题，常见面试算法题，斐波那契数列（Fibonacci Sequence）

一、一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

问题分析
设f(n)表示青蛙跳上n级台阶的跳法数。当只有一个台阶时，
即n = 1时， 只有1中跳法；
当n = 2时，有两种跳法；
当n = 3 时，有3种跳法；
当n很大时，青蛙在最后一步跳到第n级台阶时，有两种情况：
一种是青蛙在第n-1个台阶跳一个台阶，那么青蛙完成前面n-1个台阶，就有f(n-1)种跳法，这是一个子问题。
另一种是青蛙在第n-2个台阶跳两个台阶到第n个台阶，那么青蛙完成前面n-2个台阶，就有f(n-2)种情况，这又是另外一个子问题。

两个子问题构成了最终问题的解，所以当n>=3时，青蛙就有f(n)=f(n-1)+f(n-2)种跳法。上面的分析过程，其实我们用到了动态规划的方法，找到了状态转移方程，用数学方程表达如下：

仔细一看，这不就是传说中的著名的斐波那契数列，但是与斐波那契数列的还是有一点区别，斐波那契数列从0开始，f(0)=0，f(1)=1,f(2)=1。斐波那契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列，因为当n趋于无穷大时，前一个数与后一个数的比值无限接近于黄金比例(√5?12的无理数，0.618…）。

下面是实现代码，两种方式，亲测可用，大家如果要测试可以直接拷贝代码粘贴到Java项目中运行即可：

public class Test1 {     public static void main(String[] args) {          System.out.println(frogJumpFloor(4));         //System.out.println(frogJumpFloorII(4));          }       //一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。        //1，2，3，5，8，13，21…… 从第三位数开始，以后的数是它前两位数的和     static int frogJumpFloor(int number) {//迭代方法            if(number<=0) return number;            if(number==1) return 1;            if(number==2) return 2;            int jumpone=2;            int jumptwo=1;            int jumpn=0;            for(int i=3;i<=number;i++){//转圈赋值                jumpn=jumptwo+jumpone;                jumptwo=jumpone;                jumpone=jumpn;            }            return jumpn;     }     static int frogJumpFloorII(int n)  {//递归方法         if (n <= 0)      return -1;           if (1 == n)      return  1;           else if (2 == n) return  2;           else {               return frogJumpFloorII(n - 1) + frogJumpFloorII(n - 2);           }       }  }

二、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？（拓展问题）

问题分析

当n = 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：f(1) = 1;
当n = 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：f(2) = f(1) + f(0) = 2;

当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有f(3-1)种跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有f(3-2)种跳法，一次跳到第三台阶，f(3) = f(2) + f(1)+f(0)=4;

当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有f(n-1)种跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有f(n-2)种跳法….第一次跳出n阶后, 后面还有f(n-n)种跳法。

所以f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+………. +f(n-n) = f(0)+f(1)+f(2)+…….+f(n-2)+f(n-1)，
又因为f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)+…+f(n-n) = f(0)+f(1)+f(2)+…….+f(n-2)，
两式相减得：f(n)-f(n-1)=f(n-1)，所以f(n) = 2*f(n-1)，n >= 2。

下面是实现代码，两种方式，亲测可用，大家如果要测试可以直接拷贝代码粘贴到Java项目中运行即可：

public class Test2 {     public static void main(String[] args) {           System.out.println(frogJumpFloor(3));         //System.out.println(frogJumpFloorII(3));          }      //一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，    //此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？          static int frogJumpFloor(int number) {//迭代方法            int count=1;            if(number==1) return 1;            else{                for(int k=2;k<=number;k++)                    count=2*count;                return count;            }     }     static int frogJumpFloorII(int number) {//递归方法            if(number==1)return 1;            return 2*frogJumpFloorII(number-1);     }}

拓展问题可能逻辑思维不强的开发者理解起来比较困难，如果你看一遍理解不了就看三遍，三遍不行就三十遍、三百遍……
我是属于比较笨的人，看了好多个三十遍才理解，有时候只想说：在座的各位只有我是垃圾！
如果还是不能理解，好在两种实现的代码比简单，尤其递归的方法就两行代码，大家可以死记硬背来搞定面试。