poj 2409 Let it Bead

题意：
• ⽤ m 种颜⾊给⼀个有 n 个珠⼦的项链染色
• 考虑旋转、翻转同构，求⽅案数

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【分析】
polya计数法…第一题。
并不会证明…
1.考虑旋转同构，那么n个珠子的项链总共n种旋转置换，对于旋转i个珠子的置换，循环节个数为gcd(n,i)，至于为什么大家可以画个图出来感性理解一下…
2.考虑翻转同构，对于n为奇数，翻转对称轴必定经过其中一个珠子，所以总共有n种相同情况，每种情况循环节有(n+1)/2个。对于n为偶数，有n/2个翻转对称轴经过珠子，有n/2个不经过珠子，循环节个数分别为n/2+1和n/2个…

然后暴力求解即可。

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【代码】

//poj 2409 Let it Bead#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#define ll long long#define M(a) memset(a,0,sizeof a)#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)using namespace std;ll ans;int n,m;inline int gcd(int x,int y){    return x%y==0?y:gcd(y,x%y);}int main(){    int i,j;    while(scanf("%d%d",&m,&n))    {        if(!n && !m) return 0;        ans=0;        fo(i,1,n)          ans+=pow(m,gcd(n,i));        if(n&1)          ans+=n*pow(m,(n+1)/2);        else          ans+=n/2*pow(m,n/2+1)+n/2*pow(m,n/2);        printf("%lld\n",ans/n/2);    }}//but the world keeps spinning around.