数据结构----二分图匹配----KM算法详解

一、相关概念

1.完美匹配

如果一个二分图，X部的每一个顶点都与Y部的一个顶点匹配，并且Y部的每一个顶点也与X部的一个顶点匹配，则该匹配为完美匹配。

2.完备匹配

如果一个二分图，X部的每一个顶点都与Y部的一个顶点匹配，或者Y部的每一个顶点也与X部的一个顶点匹配，则该匹配为完备匹配。完美匹配属于完备匹配。

3.最大权匹配

带权二分图的权值最大的匹配为最大权匹配。

4.最佳匹配

带权二分图的权值最大的完备匹配称为最佳匹配。二分图的最佳匹配不一定是二分图的最大权匹配。

5.相等子图

如果我们选择边权等于两端点的顶标之和的边，它们组成的图称为相等子图。

6.相等子图的性质

（1）、在任意时刻，相等子图上的最大权匹配一定小于等于相等子图的顶标和。

（2）、在任意时刻，相等子图的顶标和即为所有顶点的顶标和。

（3）、扩充相等子图后，相等子图的顶标和将会减小。

（4）、当相等子图的最大匹配为原图的完备匹配时，匹配边的权值和等于所有顶点的顶标和，此匹配即为最佳匹

配。

二、KM算法

1.算法轮廓

（1）、首先选择顶点数较少的为X部，初始时对X部的每一个顶点设置顶标，顶标的值为该点关联的最大边的权

值，Y部的顶点顶标为0。

（2）、对于X部中的每个顶点，在相等子图中利用匈牙利算法找一条增广路径，如果没有找到，则修改顶标，扩大相

等子图，继续找增广路径。当每个点都找到增广路径时，此时意味着每个点都在匹配中，即找到了二分图的完备匹

配。该完备匹配即为二分图的最佳匹配。

2、修改顶标的方法

如果我们没有找到增广路径，则我们一定找到了许多条从Xi出发并结束于X部的匹配边与未匹配边交替出现的路径，

姑且称之为交错树。我们将交错树中X部的顶点顶标减去一个值d，交错树中属于Y部的顶点顶标加上一个值d。

我们修改顶标的目的就是要扩大相等子图。为了保证至少有一条边进入相等子图，我们可以在交错树的边中寻找顶标

和与边权之差的最小值，这就是d值。

三、代码

int visx[MAXN],visy[MAXN],linkx[MAXN],linky[MAXN],cntx,cnty;int wx[MAXN],wy[MAXN],d,dis[MAXN][MAXN];bool dfs(int s){    visx[s]=1;    for(int i=1;i<=cnty;i++){        if(!visy[i]){            int t=wx[s]+wy[i]-dis[s][i];            if(t==0){                visy[i]=1;                if(linky[i]==0||dfs(linky[i])){                    linkx[s]=i,linky[i]=s;                    return true;                }            }            else{                if(t<d)                  d=t;            }        }}    return false;}void km(){    memset(linkx,0,sizeof(linkx));    memset(linky,0,sizeof(linky));    for(int i=1;i<=cntx;i++){        while(1){            d=INF;            memset(visx,0,sizeof(visx));            memset(visy,0,sizeof(visy));            if(dfs(i)) break;            for(int j=1;j<=cntx;j++)if(visx[j]) wx[j]-=d;            for(int j=1;j<=cnty;j++)if(visy[j]) wy[j]+=d;        }    }}

四、时间分析

dfs():O(n^4)

bfs():O(n^3)