组合数学常用内容——Polya定理+Burnside引理
来源:互联网 发布:诺可可网络 编辑:程序博客网 时间:2024/05/13 15:59
Burnside引理
设G是N{1,2,.....,n}上的置换群,G在N上可引出不同的等价类(在置换群中有置换的都等价),其不同的等价类的个数为LL=1/|G|*(c1(a1)+...c1(ai)...+c1(ag))c1表示置换ai作用过后不变的方案数,也就是置换中循环节长度是1的循环个数(N中的元素是组合方案的序号不是自然数!此置换群是关于所有着色图像(所有可能的情况)集合N的置换)Burnside应用关键:如何构造置换群(图形上来说一般为根据中心点,对称轴进行旋转和翻转)缺陷:置换是作用在所有方案上的,如果颜色数量过多,方案随之剧增,Burnside无能为力;
Polya定理
设G是n个对象的一个置换群(此置换群是关于所有被着色对象集合的置换),用m种颜色对这n个对象进行着色,则不同的染色方案数为ll=1/|G|*(m^c(a1)+...m^c(ai)+...m^c(an)) c表示ai置换的循环节数量当着色方案有具体限制条件时一般用Burnside引理而不用Polya定理
Polya定理的母函数形式
设N是n个对象的集合,G是N上的置换群,G={P1,P2,...,Pg},用m种颜色b1,b2,...bm对n个对象进行着色设Ck(P)为置换P中k循环,令Sk=b1^k+b2^k+...+bm^k,k=1,2,...n(Sk为每种颜色允许出现k次),则具体着色方案数的多项式为: P=1/|G|*∑(Pi∈G)(S1^c1(Pi)*S2^c2(Pi)*...*Sn^cn(Pi))展开并合并同类项之后,b1^i1*b2^i2*...*bm^im前的系数即为具体着色方案数。
常用多面体的置换群
正四面体(顶点数:4,棱数:6)
1、以顶点为目标的转动群: 以顶点—面心为轴:(1)1 (3)1 8个置换群; 以棱中—棱中为轴:(2)2 3个置换群; 不动:(1)4 1个置换群;2、以棱为目标的转动群: 以顶点—面心为轴:(3)2 8个置换群; 以棱中—棱中为轴:(1)2 (2)2 3个置换群; 不动:(1)6 1个置换群;3、以面为目标的转动群: 以顶点—面心为轴:(1)1 (3)1 8个置换群; 以棱中—棱中为轴:(2)2 3个置换群; 不动:(1)4 1个置换群;
正六面体(顶点数:8,棱数:12)
1、以顶点为目标的转动群: 以顶点—顶点为轴:(1)2 (3)2 8个置换群; 以棱中—棱中为轴:(2)4 6个置换群; 以面心—面心为轴:(4)2 6个置换群; (2)4 3个置换群; 不动:(1)8 1个置换群;2、以棱为目标的转动群: 以顶点—顶点为轴:(3)4 8个置换群; 以棱中—棱中为轴:(1)2 (2)5 6个置换群; 以面心—面心为轴:(4)3 6个置换群; (2)6 3个置换群; 不动:(1)12 1个置换群;3、以面为目标的转动群: 以顶点—顶点为轴:(3)2 8个置换群; 以棱中—棱中为轴:(2)3 6个置换群; 以面心—面心为轴:(1)2 (4)1 6个置换群; (1)2 (2)2 3个置换群; 不动:(1)6 1个置换群;
正八面体(顶点数:6,棱数:12)
1、以顶点为目标的转动群: 以顶点—顶点为轴:(1)2 (4)1 6个置换群; (1)2 (2)2 3个置换群; 以棱中—棱中为轴:(2)3 6个置换群; 以面心—面心为轴:(3)2 8个置换群; 不动:(1)6 1个置换群;2、以棱为目标的转动群: 以顶点—顶点为轴:(4)3 6个置换群; (2)6 3个置换群; 以棱中—棱中为轴:(1)2 (2)5 6个置换群; 以面心—面心为轴:(3)4 8个置换群; 不动:(1)12 1个置换群;3、以面为目标的转动群: 以顶点—顶点为轴:(4)3 6个置换群; (2)6 3个置换群; 以棱中—棱中为轴:(2)3 6个置换群; 以面心—面心为轴:(1)2 (3)2 8个置换群; 不动:(1)8 1个置换群;
足球(顶点数:60,棱数:90;五边形:12;六边形:20)
1、以顶点为目标的转动群: 以五边形面心—五边形面心为轴:(5)12 24个置换群; 以棱中—棱中为轴:(2)30 15个置换群; 以六边形面心—六边形面心为轴:(3)20 20个置换群; 不动:(1)60 1个置换群;2、以棱为目标的转动群: 以五边形面心——五边形面心为轴:(5)18 24个置换群; 以棱中—棱中为轴:(1)2 (2)44 15个置换群; 以六边形面心—六边形面心为轴:(3)30 20个置换群; 不动:(1)90 1个置换群;
Polya+Burnside引理应用示例
多面体类(以六面体为例)
分析:
首先重要的是要弄清楚正方体的旋转,共24种变换。1、静止不动,那么就是12个循环,每个循环节长度为12、通过两个对立的顶点,分别旋转120,240,有4组顶点,在每一次旋转当中,可以发现分为4个循环,每个循环节长度为3,直观的说,就是有3条边是交换的,颜色必须一样。3、通过两个对立面的中心,分别旋转90,180,270度。有3组面在每次旋转90度和270度的时候,可以发现分为3个循环,每个循环节长度为4在每次旋转180度的时候,可以发现分为6个循环,每个循环节长度为24、通过两条对立的棱的中心,分别旋转180度,有6组棱在每次旋转的时候,分为6个循环,每个循环节长度为2有了以上基础之后,便是对于每一个置换,求出等价的种数。这里通过组合数来确定,以上说了,是将12条边分为若干个循环,每个循环的颜色相同。转换成n个物品放入n个集合的种数。
下面来看代码:
#define N 1000000000#define inf 1<<29#define MOD 9973#define LL long longint a[7],b[7];LL c[15][15];//处理每K条边必须颜色相同//总共把边分为12/k组LL slove(int k){ int n=0; LL sum=1; for(int i=0;i<6;i++) if(b[i]%k==0){ b[i]/=k; n+=b[i]; } else return 0; //总共n组,然后通过组合数确定方案数 for(int i=0;i<6;i++){ sum*=c[n][b[i]]; n-=b[i]; } return sum;}LL still_slove(){ memcpy(b,a,sizeof(a)); //静止不到,不需要有边相同 return slove(1);}LL point_slove(){ memcpy(b,a,sizeof(a)); //有4组顶点,每个轴可以转120以及160度 //每组旋转,循环节长度为3,3条边的颜色一样 return 4*2*slove(3);}LL plane_slove(){ //3有组对面,可以旋转90度和270度 //每次旋转,要求4条边颜色相同 memcpy(b,a,sizeof(a)); LL ans=3*2*slove(4); memcpy(b,a,sizeof(a)); //3组对面,旋转180度 //每次旋转要求两条边颜色相同 return ans+3*slove(2);}LL edge_slove(){ LL ans=0; for(int i=0;i<6;i++) for(int j=0;j<6;j++){ //围绕棱旋转,有两条棱是不变的,先除掉 memcpy(b,a,sizeof(a)); b[i]--;b[j]--; if(b[i]<0||b[j]<0) continue; //6组对棱,每次旋转180度 //每次旋转,两条边相同 ans+=6*slove(2); } return ans;}LL Polya(){ LL ans=0; //第一种静止不动 ans+=still_slove(); //第二种过某顶点以及相对的顶点的轴旋转 ans+=point_slove(); //第三种过某个面以及相对的面的轴旋转 ans+=plane_slove(); //第四种过某条棱以及相对的棱为轴旋转 ans+=edge_slove(); return ans/24;}//预处理组合数void Init(){ for(int i=0;i<=12;i++){ c[i][0]=c[i][i]=1; for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]); }}int main(){ Init(); int t,k; scanf("%d",&t); while(t--){ memset(a,0,sizeof(a)); for(int i=0;i<12;i++){ scanf("%d",&k); a[k-1]++; } printf("%lld\n",Polya()); } return 0;}
环类
分析:
置换及循环节数的计算方法:对于有n个位置的手镯,有n种旋转置换和n种翻转置换:对于旋转置换:c(fi) = gcd(n,i) i为一次转过i颗宝石( i = 0 时 c=n;)对于翻转置换:如果n为偶数:c(f) = n/2 的置换有n/2个; c(f) = n/2+1 的置换有n/2个; 如果n为奇数:c(f) = n/2+1.
下面来看代码:
int Gcd(int a,int b){ return b?Gcd(b,a%b):a;}double Polgy(int n){ int i; double sum=0,tmp; if(n==0) return 0; //旋转置换的情况 for(i=1;i<=n;i++){ tmp=Gcd(i,n); sum+=pow(3.0,Gcd(i,n)); } //翻转置换的情况 if(n%2==0){ sum+=pow(3.0,n/2+1)*n/2; sum+=pow(3.0,n/2)*n/2; } else{ sum+=pow(3.0,n/2+1)*n; } return sum/2/n;}int main(){ int n; while(cin>>n && n!=-1){ cout<<(int)Polgy(n)<<endl; }}
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