LeetCode刷题（C++）——Maximum Subarray（Easy）

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

思路：

（1）暴力枚举法：起点i=0...n-1，终点j=i....n-1，然后求和i...j，时间复杂度为O(n^3)

（2）枚举（优化）：起点i=0...n-1，终点j=i...n-1，同时求和i...j，时间复杂度为（O(n^2)

（3）分治法：

     分：将数组分成两个基本等长的子数组，分别求解T(n/2)

     合：跨越中心点的最大子数组（枚举），时间复杂度为O(n)

     总的时间复杂度为O(nlogn)

代码如下：

class Solution {public:    int maxSubArray(vector<int>& nums) {        int n = nums.size();        if (n==0)            return 0;        if (n == 1)            return nums[0];        return maxSubArray(nums, 0, n - 1);    }    int maxSubArray(vector<int>& nums, int start, int end)    {        if (start > end)            return INT_MIN;        int n = end-start+1;        if (n == 1)            return nums[start];        int mid = (start+end)>>1;        //分成两部分：0.....mid   |   mid+1......n-1        int answer = max(maxSubArray(nums,start,mid-1), maxSubArray(nums,mid+1,end));        int now = nums[mid], may = now;        for (int i = mid - 1;i >= 0; i--)        {            may = max(may, now += nums[i]);        }        now = may;        for (int i = mid+1;i <= end;i++)        {            may = max(may, now +=nums[i]);        }        return max(answer, may);    }};

（4）利用动态规划思想

     假设dp[i]表示以nums[i]结尾的最大子数组的和

     dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i]，nums[i])

         最大子数组包含nums[i-1]：dp[i-1]+nums[i]

         最大子数组不包含nums[i-1]：nums[i]

         两者当中取最大值

     初值dp[0]=nums[0]

     最大子数组的和为dp[0]...dp[n-1]中最大者

     时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)

代码如下：

class Solution {public:    int maxSubArray(vector<int>& nums) {        int n=nums.size();        vector<int> dp(n);        dp[0]=nums[0];        int answer = dp[0];        for(int i=1; i<n;i++){            dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);            answer=max(answer,dp[i]);        }        return answer;    }};

同时还可以对dp进行空间优化：使得空间复杂度为O(1)，用一个变量endHere来存储目前最大的子数组和

     endHere = max(endHere+nums[i],nums[i])          //  等号左边的endHere相当于dp[i]，等号右边的相当于dp[i-1]

     answer = max(endHere,answer)

代码如下：

class Solution {public:    int maxSubArray(vector<int>& nums) {        int n=nums.size();        int endHere = nums[0];        int answer = nums[0];        for(int i=1; i<n;i++){            endHere=max(endHere+nums[i],nums[i]);            answer=max(answer,endHere);        }        return answer;    }};

（5）线性枚举

     定义sum[i]=nums[0]+nums[1]+....+nums[i]；  i>=0

     则对于i...j的和：nums[i]+nums[i+1]+...+nums[j]=sum[j]-sum[i-1]

     对于当前的sum[j]，当sum[i-1]取最小值时，sum[j]才是最大值，于是我们可以用一个变量来记录sum的最小值

     时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)

代码如下：

class Solution {public:    int maxSubArray(vector<int>& nums) {        int n=nums.size();        int sum = nums[0];        int minSum = min(sum,0);        int answer = nums[0];        for(int i=1; i<n;i++)        {            sum+=nums[i];            answer = max(answer, sum-minSum);            minSum = min(sum,minSum);        }        return answer;    }};

(6) 从头到尾，只需要遍历一遍数组，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)

设置一个变量subSum记录nums[i]之前子数组和,最大子数组记为sum

当subSum<=0时，subSum+nums[i]<=nums[i]，此时令subSum=nums[i]，

当subSum>0时，subSum+nums[i]>nums[i]

比较:sum = max(sum,subSum)

最后返回sum

代码如下：

class Solution {public:    int maxSubArray(vector<int>& nums) {        int n=nums.size();        if(n==0)            return 0;        int subSum = 0;        int sum = INT_MIN;        for(int i=0; i<n;i++)        {            if(subSum<=0)                subSum = nums[i];            else                subSum+=nums[i];            if(sum<subSum)                sum = subSum;        }        return sum;    }};