树状数组

参考博文：http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868

1. 树状数组的功能

       平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，例如修改某点的值、求某个区间的和。当数据规模不大的时候，对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改再求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后速度很慢。

        树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位下标之间的所有元素之和，查询的时间复杂度是log(n)。支持数组的修改，修改一个下标值的时间复杂度是log(n)；

2. 树状数组的实现

       下面的说明都是基于这两幅图的，左边的叫A图，右边的叫B图

       图A有两个数组，a数组存储的是原始数组值，c数组存储的是部分区间和值。下面介绍c数组计算规则，从图中可以很清楚的看到c1 = a1, c2 = a2 + a1, c4 = a4 + a3 + a2 + a1, c[i]的计算规则是从a[i]开始连续（i的二进制低位1组成的数）个数之和。下面介绍一个定义，解释什么是i的二进制低位1组成的数以及如何计算。

       定义一：数值k的二进制低位1组成的数通过lowbit(k)来计算，lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1,比如10的二进制是1010,则lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2进制)，介于这个lowbit在下面会经常用到，这里给一个非常方便的实现方式，比较普遍的方法lowbit(k)=k&-k，这是位运算，我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了。

       因此下标4的二进制是100, 100（二进制）lowbit(k)值为100（二进制）转化为十进制就是4，因此 c4 为从a4开始，求连续4个数的和，故c4 = a4 + a3 + a2 + a1, 同理下标3的二进制是11，它的lowbit值为1，故c3 = a3。c8 = a8 + a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1。为什么要这样计算呢，其实c8 = c4 + c6 + c7 + a8，可以看做 a1～a8的左半边和+右半边和。左边和a1~a4已经计算完成为c4, 右边和a5~a8可以按照同样的规则一分为二，转化为左半边和a5~a6(c6)+后半边和a7~a8，通过二分的方法将求和的时间复杂度减低到log(n)。

       下面介绍数状数组需要执行的两个操作。

       1. 修改a数组某一项值

       a数组每次修改都需要维护c数组应有的性质，因为后面求和要用到。而维护也很简单，比如更改了a[0011]，我们接着要修改c[0011],c[0100],c[1000]，这是很容易从图上看出来的，那么他们之间有什么必然联系呢？其实从0011——>0100——>1000的变化都是进行“去尾”操作，就是把尾部应该去掉的1都去掉转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生，所以0100是不能变换到0101的，因为没有新的高位1产生，这个变换过程恰好是可以借助我们的lowbit进行的，k +=lowbit(k)。

       为什么它非要是这种关系啊？这就要追究到之前我们说c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和……的内容了，为什么c[0011]会影响到c[0100]而不会影响到c[0101]，这就是之前说的c[0100]的求解实际上是这样分段的区间 c[0001]~c[0001] 和区间c[0011]~c[0011]的和，数字太小，可能这样不太理解，在比如c[0100]会影响c[1000]，为什么呢？因为c[1000]可以看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的数变化并会直接作用于c[1000]，因为它的尾部1不能一下在跳两级在产生两次高位1,是通过c[0110]间接影响的，但是，c[0100]却可以跳一级产生一次高位1。

        可能上面说的你比较绕了，那么此时你只需注意：c的构成性质（其实是分组性质）决定了c[0011]只会直接影响c[0100]，而c[0100]只会直接影响[1000]，而下表之间的关系恰好是也必须是k +=lowbit(k)。此时我们就是写出跟新维护树的代码：

void add(int k,int num)  {      while(k<=n)      {          tree[k]+=num;          k+=k&-k;      }  } 

       2. 数组区间求和    

       比如求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]，分析方法与上面的恰好逆过来，而且写法也是逆过来的，具体就不累述了：

int read(int k)//1~k的区间和  {      int sum=0;      while(k)      {          sum+=tree[k];          k-=k&-k;      }      return sum;  }  

三、总结

      首先，明白树状数组所白了是按照二分对数组进行分组；维护和查询都是O(lgn)的复杂度，复杂度取决于最坏的情况，也是O(lgn);lowbit这里只是一个技巧，关键在于明白c数组的构成规律;分析的过程二进制一定要深入人心，当作心目中的十进制。