基础知识--二叉树 AVL树 红黑树

二叉树

二叉树定义

二叉树是每个结点最多有两个子结点的数结构。

二叉树的性质

一、度数为0的结点个数等于度数为2的结点个数加一，即n0=n2+1。

解释：只有一个根结点时 n0=1, n1=0, n2=0;（初始状态）。每添加一个结点a于结点b之下，b结点只存在两种情况：1、结点b的度数为0；2、结点b的度数为1。
在第1种情况下，n0不变，n1++, n2不变。
在第2中情况下，n0++，n1不变，n2++。
可以发现n0和n2是要么同时加一，要么都不加。
所以n0=n2+1;

二、在非空二叉树中，第n层的结点个数不超过 2n−1(n>=1)。

解释：n=1时 结点个数为1（初始状态）。下一层的结点个数为上一层结点个数的两倍。因此可以看成为n1=1，q=2。的等比数列。

三、深度为n的二叉树，其总结点个数不超过2n−1(n>=0)。

解释：由等比数列求和得总结点个数为2n−1。

四、有n个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式编号，则结点之间的编号关系如下：

若I为该结点编号，其父结点编号为(int)I/2。
若存在左孩子，其编号为2⋅I。
若存在右孩子，其编号为2⋅I+1。

思路：
父结点和子结点之间的关系可以通过树的高度建立起，所以通过高度寻找关系。（模棱两可 @.@）

解释：
令:编号为I的结点的高度为h，Left为I的左结点的编号，Right为I的右结点的编号。
∵Left=(2h−1)+与I结点同高度却在I结点前面的个数×2+1
又∵与I结点同高度却在I结点前面的个数=I−(2h−1−1)−1=I−2h−1
∴Left=(2h−1)+2×(I−2h−1)+1
即Left=2⋅I
又∵Right=Left+1
∴Right=2⋅I+1

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AVL树

要求：任一结点的左子树的深度和右子树的深度差的绝对值不超过1。
|LeftNodeDepth−RightNodeDepth|≤1，本文中称LeftNodeDepth - RightNodeDepth为平衡因子
这个要求的目的是使二叉搜索树实现平衡
因为一个二叉树的搜索算法复杂度与数的高度有关为O(log2h),所以控制二叉树的平衡型是重要的。
我们在每次插入结点时判断新加入的结点是否会破坏整颗树的平衡，如果会破坏就要进行相应的调整。（左旋，右旋等调整）

理解左旋和右旋
左结点偏重时进行左旋，使左结点的深度至少减一，右结点的深度至少加一。反之进行右旋，使左结点的深度至少加一，右结点的深度至少减一。从而起到大致控制左右结点深度的作用。

图片：

过程：
对5结点进行左旋
1、5结点变为3结点的右结点
2、3结点的右结点B变为5结点的左结点

对3结点进行右旋
1、3结点变为5结点的左结点
2、5结点的左结点B变为3结点的右结点

证明：
对5结点进行左旋
1、5结点比3结点要大，所以 {5结点变为3结点的右结点} 这个过程不会破坏顺序。
2、B结点比3大比5小，所以B结点成为5结点的左结点也不会破坏顺序。

对3结点进行右旋
证明过程同左旋

什么时候进行左旋或者右旋?
在破坏AVL树的要求时就要进行相应的调整。在左结点深度减右结点的深度的绝对值大于1时，就破坏了AVL树的平衡。

• 情况1_1：平衡因子>1时，且其左结点的平衡因子>0，对该结点进行右旋。
  
  图片解释：当插入I结点时，I结点经过的A、B、C结点的平衡因子的值都发生了改变。其中A结点和B结点的平衡因子变为了2，所以对A结点或B结点进行右旋。
  其中对A结点进行右旋在代码中是不推荐的，因为不是所有情况都存在两个平衡值为2的结点。而 2、1、0(B结点、C结点、I结点) 才是该情况的特点。
• 情况1_2：平衡因子>1时，且其左结点的平衡因子<0，对该结点的左结点进行左旋，然后对该结点进行右旋。
  对该结点的左结点进行左旋的目的是，让左结点的平衡因子变为>0的值(就变成情况1_1了)。

• 情况2_1：平衡因子<-1时，且其右结点的平衡因子<0，对该结点进行左旋。

• 情况2_2：平衡因子<-1时，且其右结点的平衡因子>0，对该结点的右结点进行右旋，然后对该结点进行左旋。
  对该结点的右结点进行左旋的目的是，让右结点的平衡因子变为<0的值(就变成情况2_1了)。
  代码实现

//数据结构struct Node{    int value;//序号    int balance;//平衡因子    Node *left;    Node *right;}Node;//所需函数void LeftRotate(Node*);//左旋void RightRotate(Node*);//右旋class AvlTree{public:    Node root;    AvlTree(){};    void insert(Node* pNode){        if(pNode -> value < root)    };};

红黑树