01背包（讲解）

本来还觉得01背包是动态规划中比较基础的部分，没想到现在看了一下觉得好难...

这题就是01Knapsack问题，我参考了一下Hawstein的blog，先来举一些例子吧：

让我假设现在的背包的容量是C=10；

物品编号： 1 2 3

物品重量： 5 6 4

物品价值：20 10 12

用v[i]表示物品价值，w[i]表示物品重量，要使得放入背包的物品价值最大化，我们知道用贪心是不行的！

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所以接下来开始动规：

首先定义状态dp[i][j]以j为容量为放入前i个物品(按i从小到大的顺序)的最大价值，那么i=1的时候，放入的是物品1，这时候肯定是最优的啦！

那考虑一下j，j是当前容量，如果j<5，那么是不是就不能放，dp[1][j](j<5)=0；那如果j>5，就可以放了，dp[1][j](j>=5)=20；

 

接着i=2放两个物品，求的就是dp[2][j]了，当j<5的时候，是不是同样的dp[2][j](j<5)等于0；那当j<6是不是还是放不下第二个，只能放第一个；

那j>6呢？是不是就可以放第二个了呢？是可以，但是明显不是最优的，用脑子想了一下，发现dp[2][j](j>6)=20，这个20怎么来的呢，当然是从前一个状态来的（注意这里就可以分为两种情况了）：一种是选择第二个物品放入，另一种还是选择前面的物品；

让我们假设一下j=10吧，可能会比较好理解！这时候：dp[2][10] = max(dp[1][10-w[2]])+v[2]，dp[1][10])；

dp[2][10] = max(dp[1][4])+10，dp[1][10])；

是不是很明显了呢，dp[1][4])+10是选择了第二个，于是容量相应就减少成4，之前已经得出dp[1][4]=0，就是说选了物品2，物品1就选不了了；dp[1][10]是不选择第二个，只选择第一个dp[1][10]是等于20的，于是得出dp[2][10]=20；

 

到这里就可以了，依次类推，动态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]])+v[i]，dp[i-1][j])；

但是好像还有一些问题没考虑完.........

 

看回例子：

物品编号： 1 2 3

物品重量： 5 6 4

物品价值：20 10 12

我们知道dp[1][j](j<5)=20，dp[2][j](j=5)的时候是多少呢？我们看到动态转移方程并没有考虑j<w[i]的情况，但是我们可以加进去，由于dp[2][5]我们看出来是等于5的，为什么？因为不能选第二个，只能选第一个，所以.....dp[2][5]是不是刚好等于dp[1][5]了呢！所以当j<w[i]的时候，dp[i][j] = dp[i-1][j]就好了，是不是很神奇呢！

#include <iostream> 2  3 using namespace std; 4  5 int w[105], val[105]; 6 int dp[105][1005]; 7  8 int main() 9 {10     int t, m, res=-1;11     cin >> t >> m;12     for(int i=1; i<=m; i++)13         cin >> w[i] >> val[i];14     15     for(int i=1; i<=m; i++) //物品 16         for(int j=t; j>=0; j--) //容量 17         {18             if(j >= w[i])19                 dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i], dp[i-1][j]);20             else21                 dp[i][j] = dp[i-1][j];           22         }23     cout << dp[m][t] << endl;24     return 0;25 }