梯度下降法

这几天在看《统计学习方法》这本书，发现 梯度下降法 在 感知机 等机器学习算法中有很重要的应用，所以就特别查了些资料。 　　

 

   一.介绍

      梯度下降法（gradient descent）是求解无约束最优化问题的一种常用方法，有实现简单的优点。梯度下降法是迭代算法，每一步需要求解目标函数的梯度向量。

 

   二.应用场景

     1.给定许多组数据（x_i, y_i），x_i（向量）为输入，y_i为输出。设计一个线性函数y=h（x）去拟合这些数据。

     2.感知机：感知机（perceptron）为二类分类的线性分类模型。 输入为实例的特征向量，输出为实例的类别， 取+1 和 -1 二值。

 

     下面分别对这两种应用场景进行分析。

     1.对于第一种场景:

        既然是线性函数，在此不妨设为 h(x) = w0*x0 + w1*x1。

        此时我们遇到的问题就是如何确定w0和w1这两个参数，即w=（w0，w1）这个向量。

        既然是拟合，则拟合效果可以用平方损失函数：E(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 来衡量。

        其中w是权重二维向量，x是输入二维向量，x和y都是训练集的数据，即已知。

        至于后面除于2只是为了之后的推导过程中对E求导时候可以消除系数，暂时可以不管。

        因此该问题变成了求E(w)最小值的无约束最优化问题

      2.对于第二种场景:

        假设输入空间(特征向量)为x，输出空间为y = {+1, -1},由输入空间到输出空间的如下函数

                        f(x) = sign(w · x + b)       w∈Rⁿ     其中 w 叫做权值或者权值向量, b叫做偏振。w · x 表示向量w和x的点积

         感知机sign(w · x + b)的损失函数为  L(w, b) = -∑y_i(w · x_i + b)              x ∈M, M为误分类点集合。

        因此该问题变成了求L(w, b)最小值的无约束最优化问题

 

   三.梯度下降方法

       梯度其实就是高数求导方法，对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）

       1. 对于第一种场景

          对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）

          梯度为最陡峭上升的方向，对应的梯度下降的训练法则为： w=w-η▽E(w)     这里的η代表学习速率，决定梯度下降搜索中的步长 。

          上式的w是向量，即可用将该式写成分量形式为:wi=wi-η*∂E/∂wi

          现在关键就使计算∂E/∂wi：

          推导过程很简单，书上写的很详细，这里只记录结论(其实就是对目标函数求导):

          ∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(x_i)

          这里的∑是对样本空间，即训练集进行一次遍历，耗费时间较大，可以使用梯度下降的随机近似：

       2. 对于第二种场景

           感知机学习算法是误分类驱动的，具体采用随机梯度下降方法

           ▽wL(w, b) =   -∑y_ix_i       

           ▽_bL(w, b) =   -∑y_i

           随机选取一个误分类点（x_i,   y_i), 对w, b进行更新：

            w  <——   w - η * (-y_ix_i)

            b  <——    b - η * (-y_i)                 式中η(0 < η <= 1)是步长，在统计学习中又称为学习率（learning rate）

  

   四.随机梯度下降的随机近似：

      既然是随机近似，则顾名思义，肯定是用近似方法来改善梯度下降时候的时间复杂度问题。

      正如上所说，在∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi) 的时候∑耗费了大量的时间，特别是在训练集庞大的时候。

      所以肯定有人会猜想，如果把求和去掉如何，即变为∂E/∂wi=（h(x)-y）*(xi)。

      幸运的是，猜想成立了。

      只是要注意一下标准的梯度下降和随机梯度下降的区别：

　　　　1.标准下降时在权值更新前汇总所有样例得到的标准梯度，随机下降则是通过考察每次训练实例来更新。

　　　　2.对于步长 η的取值，标准梯度下降的η比随机梯度下降的大。

　　　　因为标准梯度下降的是使用准确的梯度，理直气壮地走，随机梯度下降使用的是近似的梯度，就得小心翼翼地走，怕一不小心误入歧途南辕北辙了。

　　　　3.当E（w）有多个局部极小值时，随机梯度反而更可能避免进入局部极小值中。

 四.代码及实例：

  1. 对于第一种场景

         

 1 /* 2  * 随机梯度下降实验： 3  * 训练集输入为矩阵： 4  * 1,4 5  * 2,5 6  * 5,1 7  * 4,2 8  * 输出结果为： 9  * 1910  * 2611  * 1912  * 2013  * 需要参数为 w：14  * ？15  * ？16  *17  * 目标函数:y=w0*x0+w1*x1;18  *19  * */20 #include<stdio.h>21 #include <stdlib.h>22 int main()23 {24     double matrix[4][2]={{1,4},{2,5},{5,1},{4,2}};25     double result[4]={19,26,19,20};26     double w[2]={0,0};//初始为零向量27     double loss=10.0;28     const double n = 0.01;        //步长 29     for(int i=0;i<100&&loss>0.001;i++)30     {31         double error_sum=0;32         int j=i%4;33         { 34             double h=0;35             for(int k=0;k<2;k++)36             {37                 h+=matrix[j][k]*w[k];38             }39             error_sum = h - result[j];40             for(int k=0;k<2;k++)41             {42                 w[k]-= n * (error_sum) * matrix[j][k];//这里是关键43             }44          }45         printf("%lf,%lf\n",w[0],w[1]);46         double loss=0;47         for(int j=0;j<4;j++)48         {49             double sum=0;50             for(int k=0;k<2;k++)51             {52                 sum += matrix[j][k] * w[k];53         }54         loss += (sum - result[j]) * (sum-result[j]);55      }56         printf("%lf\n",loss);57     }58 59     system("pause");60     return 0;61 }

 结果可以得出  w0=3，w1=4。

 1. 对于第二种场景

 1 /* 2  * 基于感知机的随机梯度下降实验：  《统计学习方法》- p29-例2.1  3  * 训练集输入为矩阵： 4  * 3,3 5  * 4,3 6  * 1,1 7  * 输出结果为（表示实例的分类）： 8  * 1  9  * 110  * -1 11  * 需要参数为 w：12  * ？13  * ？14  *15  * 目标函数:y = w0 * x0 + w1 * x1 + b; 16  *17  * */18 #include<stdio.h>19 #include <stdlib.h>20 int main()21 {22     double x[3][2]={{3,3},{4,3},{1,1}};23     double y[4]={1, 1, -1};24     double w[2]={0,0};//初始为零向量25     double b = 0;26     int j;27     const double n = 1;        //步长 28  29     while(1)30     {31         for(j=0;j<3;j++)32         {33             if(y[j] * (w[0] * x[j][0] + w[1] * x[j][1] + b) <= 0)34                 break; 35         }36         if(j < 3)37         {38             for(int k=0;k<2;k++)39                 w[k] += n * y[j] * x[j][k];//这里是关键40             b += n * y[j];41          }42          else43             break;44         printf("%d :%lf,%lf %lf\n", j, w[0], w[1], b);45         46     }47 48     system("pause");49     return 0;50 }

 结果可以得出  w0=1，w1=1， b = -3 。

       

 

参考：

 

1.    http://blog.csdn.net/wuyanyi/article/details/8003946

 

2.    李航 统计学习方法