算法课第12周第1题——62. Unique Paths

题目描述：

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

程序代码：

class Solution {public:int uniquePaths(int m, int n) {// 建立一个二维数组vector<int> temp(n, 0);vector<vector<int> > f(m, temp);// （0,0)处可到达路径数为1f[0][0] = 1;// (i, j)处可到达路径数为其上或左处之和// 注意处理边界处for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (i == 0 && j == 0) {continue;}if (i == 0) {f[i][j] = f[i][j - 1];}else if (j == 0) {f[i][j] = f[i - 1][j];}else {f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];}}}return f[m - 1][n - 1];}};

简要题解：

本题运用了动态规划的算法。

先理解题意。本题需要从左上角的起点到右下角的终点（每次只能往下或往右走一步），求出总共可能的路径数量。

要解出本题，需要考虑一个二维平面的坐标。如下图所示：

、

在上图中，一般的点，如点a处，只可能从其上面的点（b点）或左边的点(c点）走到。因此，点a处的路径数即为点b和点c处路径数的和，即得到转移方程：

f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1]

但要注意特殊情况，也就是边界上的点。若在最上方一排的点，其i = 0, 没有上方的点可以到达此点，只有左边的点可以到达。 此时其转移方程为：f[i][j] = f[i][j - 1]

同理，若在最左边一列的点，转移方程则为：f[i][j] = f[i - 1][j]  。

接着要注意设置初始条件，即f[0][0] = 1, 表示从起点到起点有1条路径。

最后，输出结果即为f[m-1][n-1].

本题不算太难的动态规划问题，不过结合了二维平面的图形，显得稍微有趣和特殊。之后我还会对其他各种类型的动态规划都尝试做更多练习。