傅里叶级数与复的傅里叶级数、傅里叶变换

来源：互联网发布：网络东北大秧歌曲大全编辑：程序博客网时间：2024/05/22 13:45

e i θ = cos θ + i sin θ \Rightarrow ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cos θ = 1 2 e i θ + 1 2 e - i θ sin θ = 1 2 i e i θ - 1 2 i e - i θ

欧拉公式的存在，建立了三角函数与复指数之间的桥梁，也使得相当多的数学公式形式变得简单。

1. 傅里叶级数（fourier series）

u (t) = a 0 2 + \sum + \infty n = 1 (a n cos 2 π n F t + b n sin 2 π n F t)

为简化运算，不妨令 θ=2πnFt，则：

u (t) = = = = = a 0 2 + \sum + \infty n = 1 (a n cos 2 π n F t + b n sin 2 π n F t) a 0 2 + \sum \infty n = 1 (a n cos θ + b n sin θ) a 0 2 + \sum \infty n = 1 ((1 2 a n - 1 2 i b n) e i θ + (1 2 a n + 1 2 i b n) e - i θ) a 0 2 + \sum \infty n = 1 ((1 2 a n - 1 2 i b n) e i 2 π n F t + (1 2 a n + 1 2 i b n) e - i 2 π n F t) \sum \infty n = - \infty U n e i 2 π n F t

其中：

U n = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 a n - 1 2 i b n, 1 2 a 0 1 2 a | n | + 1 2 i b | n |, n \geq 1 n = 0 n \leq 1

化为更一般的形式即为：

f (λ) = \sum \infty k = - \infty t k e i k λ, λ \in [0, 2 π] t k = 1 2 π \int 2 π 0 f (λ) e - i k λ d λ

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