魔法阵——数论

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题目来源

洛谷P2119

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题目描述

六十年一次的魔法战争就要开始了，大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。

大魔法师有m个魔法物品，编号分别为1,2,…,m。每个物品具有一个魔法值，我们用Xi表示编号为i的物品的魔法值。每个魔法值Xi是不超过n的正整数，可能有多个物品的魔法值相同。

大魔法师认为，当且仅当四个编号为a,b,c,d的魔法物品满足xa < xb < xc < xd，Xb - Xa=2(Xd - Xc)，并且xb-xa < (xc-xb)/3时，这四个魔法物品形成了一个魔法阵，他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品，B物品，C物品，D物品。

现在，大魔法师想要知道，对于每个魔法物品，作为某个魔法阵的A物品出现的次数，作为B物品的次数，作为C物品的次数，和作为D物品的次数。

输入输出格式

输入格式：
输入文件的第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。

接下来m行，每行一个正整数，第i+1行的正整数表示Xi，即编号为i的物品的魔法值。

保证,,。每个Xi是分别在合法范围内等概率随机生成的。

输出格式：
共输出m行，每行四个整数。第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作 为A,B,C,D物品分别出现的次数。

保证标准输出中的每个数都不会超过10^9。

每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。

输入输出样例

输入样例#1：
30 8
1
24
7
28
5
29
26
24
输出样例#1：
4 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 1
1 3 0 0
0 0 0 2
0 0 2 2
0 0 1 0
输入样例#2：
15 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
输出样例#2：
5 0 0 0
4 0 0 0
3 5 0 0
2 4 0 0
1 3 0 0
0 2 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
0 0 3 2
0 0 4 3
0 0 5 4
0 0 0 5
说明

【样例解释1】

共有5个魔法阵，分别为：

物品1,3,7,6，其魔法值分别为1,7,26,29;

物品1,5,2,7，其魔法值分别为1,5,24,26;

物品1,5,7,4，其魔法值分别为1,5,26,28;

物品1,5,8,7，其魔法值分别为1,5,24,26;

物品5,3,4,6，其魔法值分别为5,7,28,29。

以物品5为例，它作为A物品出现了1次，作为B物品出现了3次，没有作为C物品或者D物品出现，所以这一行输出的四个数依次为1,3,0,0。

此外，如果我们将输出看作一个m行4列的矩阵，那么每一列上的m个数之和都应等于魔法阵的总数。所以，如果你的输出不满足这个性质，那么这个输出一定不正确。你可以通过这个性质在一定程度上检查你的输出的正确性。

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解题思路

• 魔法值相同的魔法物品，他们作为 a、b、c、d 物品的次数也一定相同，那么我们就可以利用这一点来解题。
• 维护数组 a[] b[] c[] d[] , a[i] b[i] c[i] d[i]分别表示的是魔法值为 i 的魔法物品作为 a b c d 物品的次数。由于题目中给的 n 范围较小，因此在这里我使用桶排序
• 思考这样一个问题：
  
  • 假设存在一对 c d 物品，其对应的 a b 物品的个数分别表示为 ai bi 。那么这样的 a b c d 可以构成的魔法阵的个数为： ai * bi 。
  • 同样还是存在这样的一对 c d物品，由于 b 与 c 物品中间间隔的魔法值是不固定的，假设存在两组 a b ， 其对应的物品个数分别为 a1i b1i a2i b2i 那么这样的 a b c d 可以构成的魔法阵的个数为 a1i * b1i + a2i * b2i
  • 以此类推，如果存在的a b的个数为 n ，则其对应的魔法阵的个数为 a1i * b1i + a2i * b2i + ···· + ani * bni
  • 那么我们就可以利用这个思想来进行前缀和的优化
• 下面分析一下题目中所给的三个条件：
  
  • Xa<Xb<Xc<Xd
    说明这是一个单调递增的序列
  • 由
    Xb−Xa=2⋅(Xd−Xc)
    Xb−Xa<(Xc−Xb)3
    可以得到 ：
    2⋅(Xd−Xc)=Xb−Xa
    Xc−Xb>6⋅(Xd−Xc)
  • 如果设
    Xd−Xc=t
    那么
    Xb−Xa=2⋅t
    Xc−Xb>6⋅t
• 由于物品的魔法值只能取整数，通过上式中关于 t 的关系我们可以通过枚举 t 来计算魔法物品的出现次数
• 如果我们将 t 按照从小到大的顺序枚举，那么对于相同的 t ，同样可以按照从小到大的次序枚举对应的 d 物品的位置.由于
  Xc−Xb>6⋅t
  因此在相同 t 值的情况下，魔法值较小的 c ， d 物品对应的 a ， b 物品同样可以与魔法值较大的 c’ , d’ 物品构成魔法阵。通过这个思想来进行前缀和优化
• 通过枚举 d 物品的位置，得到对应的 c 物品的位置，利用上述方法计算前缀和得出此魔法值作为 c d 魔法物品出现的次数
• 同理枚举 a 物品的位置，得到对应的 b 物品的位置，再次利用前缀和计算的出此魔法值作为 a b 魔法物品出现的次数

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源代码

#include<cstdio>using namespace std;int n,m;int v[40010],num[15010];int a[15010],b[15010],c[15010],d[15010];int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i = 1; i <= m; i ++){        scanf("%d",&v[i]);        num[v[i]]++;//桶排序    }    for(int t = 1; t * 9 < n; t++){ //枚举t        int sum = 0;        int va,vb,vc,vd;        for(vd = t * 9 + 2; vd <= n; vd++){//枚举 d 物品的位置            va = vd - 9 * t - 1;//a 物品的魔法值            vb = vd - 7 * t - 1;//b 物品的魔法值            vc = vd - t;//c 物品的魔法值            sum += num[vb] * num[va]; //前缀和求能组成的魔法阵的个数            c[vc] += num[vd] * sum;            d[vd] += num[vc] * sum;         }        sum = 0;        for(va = n - t * 9 - 1; va >= 1; va--){//枚举 a 物品的位置            vb = va + 2 * t;            vc = va + t * 8 + 1;            vd = va + t * 9 + 1;            sum += num[vc] * num[vd];            a[va] += num[vb] * sum;            b[vb] += num[va] * sum;        }    }    for(int i = 1; i <= m; i++)        printf("%d %d %d %d\n", a[v[i]],b[v[i]],c[v[i]],d[v[i]]);}