LeetCode -- 96. Unique Binary Search Trees

题目：

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

   1         3     3      2      1    \       /     /      / \      \     3     2     1      1   3      2    /     /       \                 \   2     1         2                 3

---

思路：
这是一道动态规划题，有一定难度，主要是得发现其中的规律，然后写出状态转移方程，编码就比较简单了。我们先来分析一波规律：

1. n = 0，树为空，只有1种结构，d[0]=1;
2. n = 1，只有一个根结点的单结点树，也是只有1种结构，d[1]=1;
3. n = 2，两个结点，有两种结构，“1”为根结点，或者“2”为根结点，d[2]=2；

4. 分析题目中n = 3的情况：

   • “1”为根结点，左子树为空，右子树结点数为2，所以共有d[0]×d[2];
   • “2”为根结点时，左子树和右子树结点数均为1，所以共有d[1]×d[1];
   • “3”为根结点，左子树结点数为2，右子树为空，所以共有d[2]×d[0];

   综上，所以n = 3时，d[3]=d[0]×d[2]+d[1]×d[1]+d[2]×d[0]=5;

5. 分析n = 4的情况：

   • “1”为根结点，左子树为空，右子树结点数为3，所以共有d[0]×d[3];
   • “2”为根结点时，左子树结点数为1，右子树结点数均为2，所以共有d[1]×d[2];
   • “3”为根结点，左子树结点数为2，右子树结点数为1，所以共有d[2]×d[1];
   • “4”为根结点，左子树结点数为3，右子树为空，所以共有d[3]×d[0];

综上，所以n = 4时，d[3]=d[0]×d[3]+d[1]×d[2]+d[2]×d[1]+d[3]×d[0];

至此，我们总结出状态转移方程：

d[i]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1,2,∑j=0,k=i−1j=i−1,k=0d[j]×d[k],i=0或1；i=2;i>2;

---

C++代码：

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        int d[100]={1,1,2};        for(int i=3;i<=n;i++)        {            for(int j=0,k=i-1;j<i,k>=0;j++,k--)            {                d[i] += d[j]*d[k];            }        }        return d[n];    }};