[bzoj4881]线段游戏

题目描述

quailty和tangjz正在玩一个关于线段的游戏。在平面上有n条线段，编号依次为1到n。其中第i条线段的两端点坐
标分别为(0,i)和(1,p_i)，其中p_1,p_2,…,p_n构成了1到n的一个排列。quailty先手，他可以选择一些互不相交
的线段，将它们拿走，当然他也可以一条线段也不选。然后tangjz必须拿走所有剩下的线段，若有两条线段相交，
那么他就输了，否则他就赢了。注意若quailty拿走了全部线段，那么tangjz也会胜利。quailty深深喜欢着tangjz
，所以他不希望tangjz输掉游戏，请计算他有多少种选择线段的方式，使得tangjz可以赢得游戏。

DP

相当于走出两条路线，将所有数包含，使得每条路线都是单调增的。
为了方便我们加入p[0]=0和p[n+1]=n+1。
设f[i]表示一条路线（没有指定是第一条路线）走到了i-1，另一条路线走到了i，满足条件的方案数。
边界是f[1]=1，答案是f[n+1]*2（两条路线实际上不可区分但原题中可区分那么它们可以交换即乘2）。
如何转移呢？在i的路线会包含一段区间[i,j]，而不包含j+1，则j+1被处在i-1的路线包含，然后就可以转移到f[j+1]。
需要满足的条件是[i,j]单增，p[i−1]<p[j+1]。
可以预处理next[i]表示最大的j满足[i,j]单增，next数组有单调性。
那么这就是暴力dp了。

优化

我们按顺序扫。
当我们做出f[i]后，接下来可以转移到的j必须满足p[j+1]>p[i−1]，因此我们在线段树的对应区间里加入f[i]。
而可以转移到的j还要满足j<=next[i]，我们可以在next[i]处再在线段树中删除。
得到一个f[i]可以直接在线段树中找到p[i]这个位置。
复杂度n log n。

#include<cstdio>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)using namespace std;const int maxn=100000+10,mo=998244353;int ad[maxn*4];int h[maxn],go[maxn],nxt[maxn];int ask[maxn][3];int id[maxn],a[maxn],next[maxn],f[maxn];int i,j,k,l,t,n,m,tot,top;int read(){    int x=0,f=1;    char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9'){        if (ch=='-') f=-1;        ch=getchar();    }    while (ch>='0'&&ch<='9'){        x=x*10+ch-'0';        ch=getchar();    }    return x*f;}void add(int x,int y){    go[++tot]=y;    nxt[tot]=h[x];    h[x]=tot;}void mark(int p,int v){    (ad[p]+=v)%=mo;}void down(int p){    if (ad[p]){        mark(p*2,ad[p]);        mark(p*2+1,ad[p]);        ad[p]=0;    }}void change(int p,int l,int r,int a,int b,int v){    if (l==a&&r==b){        mark(p,v);        return;    }    down(p);    int mid=(l+r)/2;    if (b<=mid) change(p*2,l,mid,a,b,v);    else if (a>mid) change(p*2+1,mid+1,r,a,b,v);    else{        change(p*2,l,mid,a,mid,v);        change(p*2+1,mid+1,r,mid+1,b,v);    }}int query(int p,int l,int r,int a){    if (l==r) return ad[p];    down(p);    int mid=(l+r)/2;    if (a<=mid) return query(p*2,l,mid,a);else return query(p*2+1,mid+1,r,a);}int main(){    n=read();    fo(i,1,n) a[i]=read();    a[0]=0;a[n+1]=n+1;    fd(i,n,1){        if (i<n&&a[i]<a[i+1]) next[i]=next[i+1];        else next[i]=i;    }    f[1]=1;    fo(i,1,n+1){        t=h[i];        while (t){            change(1,0,n+1,ask[go[t]][0],ask[go[t]][1],-ask[go[t]][2]);            t=nxt[t];        }        if (i>1) f[i]=query(1,0,n+1,a[i]);        if (i>n) break;        top++;        ask[top][0]=a[i-1]+1;        ask[top][1]=n+1;        ask[top][2]=f[i];        add(next[i]+2,top);        change(1,0,n+1,a[i-1]+1,n+1,f[i]);    }    (f[n+1]+=mo)%=mo;    printf("%d\n",f[n+1]*2%mo);}