Multiply Strings（大数相乘）

Given two non-negative integers num1 and num2 represented as strings, return the product ofnum1 and num2.

Note:

1. The length of both num1 and num2 is < 110.
2. Both num1 and num2 contains only digits 0-9.
3. Both num1 and num2 does not contain any leading zero.
4. You must not use any built-in BigInteger library or convert the inputs to integer directly.

解题思路：

1. 为防止溢出，大数相乘以字符串保存相乘结果；

2. 假设被乘数为 a，乘数为 b ，求 a * b；

3. 假设某一时刻，b 的第 0 至 i-1 位乘 a 的结果已经获得，保存在 tmp 当中；

4. 以 b 的第 i 位乘以 a 的第 0 位，相乘结果对 10 取余获得该位的乘法结果，对 10 取整获得向高位的乘法进位；

5. 取上一步中的乘法结果和 tmp 中的第 i 位相加，对 10 取余获得该位的本次相乘结果（tmp 得到更新），对 10 取整获得向高位的加法进位；

6. 直至将 b 的每一位和 a 相乘完成；

7.  以相乘完成后乘法进位和加法进位的和作为 tmp 的最高位（b 的第 i 位乘完 a 的最高位后可能会有进位并且这个进位最大为 8 （9*9=81），同时上一步的加法也可能会产生进位并且这个进位最大为 1，所以这两个进位和最大为 9 ，不会再产生新的进位）；

8. 以新的 tmp 作为 b 的第 0 至第 i 位乘以 a 的结果；

9. 重复以上步骤直至乘完 b 的所有位。

完整代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <stack>
#include <string>
#include <algorithm>  
#include <sstream>
#include <iterator>
#include <set>

using namespace std;


class Solution {
public:
    string multiply(string num1, string num2) {
        
        int last = 3*3-1;
        string ret(last+1,'0');

        int i = num2.size()-1 ;

        while(i >= 0)
        {
            int propro = 0;
            int proadd = 0;
            int j = num1.size()-1;
            int cur = last-(num2.size()-i-1);
            while(j >= 0 )
            {
                char c = (((num2[i]-'0') * (num1[j] - '0')) + propro)%10 +'0';
                propro = (((num2[i]-'0') * (num1[j] - '0')) + propro)/10;

                char tmp = ret[cur];
                ret[cur] = (c - '0' + tmp - '0' + proadd)%10 + '0';
                proadd = (c - '0' + tmp - '0' + proadd)/10;
                cur--;
                j--;
            }
            if(propro+proadd != 0)
                ret[cur] = (propro+proadd)+'0';

            i--;
        }

        int k = 0;
        while(ret[k] == '0')k++;

        if(ret.substr(k,last+1).size() == 0)
            return "0";
        return ret.substr(k,last+1);
    }
};

void main()
{
    string num1;
    string num2;
    cin >> num1;
    cin >> num2;
    Solution s;
    cout << s.multiply(num1,num2) << endl;
}