矩估计法

本文摘自《概率论与数理统计》 陈希孺著 中国科学技术大学出版社
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参数的点估计问题
极大似然估计

前言

矩估计法是点估计方法的一种，点估计法还有极大似然估计法和贝叶斯估计法。详情请参考上面的链接。

矩估计法

矩估计法是皮尔逊在19世纪末到20世纪初的一系列文章中引进的。这个方法的思想很简单：设总体分布为f(x;θ1,⋯,θk)，则它的矩（原点矩和中心矩都可以，此处以原点矩为例）
连续型：

αm=∫∞−∞xmf(x;θ1,⋯,θk)dx

离散型：

αm=∑i=1nxif(xi;θ1,⋯,θk)

依赖于θ1,⋯,θk。另一方面，至少在样本n较大时，αm又应接近于样本原点矩am。于是

αm=αm(θ1,⋯,θk)≈am=∑i=1nXmin

取m=1,⋯,k，并将上面的近似式改成等式，就得到一个方程组：

αm(θ1,⋯,θk)=am,(m=1,⋯,k)

解此方程组，得其根θi^=θi^(X1,⋯,Xn) (i=1,⋯,k)，就以θi^作为θi的估计(i=1,⋯,k)。如果要估计的是θ1,⋯,θk的某个函数g(θ1,⋯,θk)，则用ĝ (X1,⋯,Xn)=g(θ1^,⋯,θk^)去估计它。这样定出的估计量就叫矩估计。

矩估计在各种分布中的应用

正态分布

设X1,⋯,Xn是从正态总体N(μ,σ2)中抽出的样本，要估计μ和σ2。μ是总体的一阶原点矩，按矩估计，用样本的一阶原点矩即样本的均值X⎯⎯⎯去估计。σ2是总体方差，即总体的二阶中心距，可用样本的二阶的二阶中心矩m2去估计。一般地，在估计方差时候常用样本方差S2而不用m2，即对矩估计做了一定的修正。
如果要估计的是标准差σ2，则由σ=σ2‾‾‾√，按矩估计法，它可以用m2‾‾‾√去估计，一般用S2‾‾‾√=S去估计，或者还做点修正。又当μ≠0时，（特别在μ>0时，在有些问题中，μ虽然未知，但事先可知道μ>0。比如某个班级的平均成绩，它必然会大于0，因为没有人会考负分，全班也不太可能考0分），σ/μ称为总体的变异系数，变异系数是以均值为单位去衡量总体的标准差。在有些问题中，反映变异程度的标准差意义如何，要看总体均值μ而定。比如一大群人收入的标准差为50元，若其平均工资只有70元，则这个变异系数可算很大了；但若平均工资为850元，则这个变异程度就不算大了。所以，变异系数σ/μ不过是一定意义上的“相对误差”，按矩估计法，为估计σ/μ可用m2‾‾‾√/X⎯⎯⎯,一般用S/X⎯⎯⎯。

指数分布

设X1,⋯,Xn是从指数分布总体中抽出的样本，要估计参数λ的倒数1λ。根据指数分布的特点，我们知道1λ就是总体分布的均值，故按矩估计法，就用X⎯⎯⎯去估计。如要估计的是参数λ本身，就用1X⎯⎯去估计。
另一方面，指数分布的方差为1λ2，即1λ=总体二阶中心矩‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√。按矩估计法，1λ也可以用m2‾‾‾√（或S）去估计。

均匀分布

设X1,⋯,Xn是从区间[θ1,θ2]上均匀分布的总体中抽出的样本，要估计θ1,θ2。
我们知道，均匀分布的均值、方差分别是(θ1+θ2)2和(θ2−θ1)212。因此，按矩估计法，建立方程

X⎯⎯⎯=(θ1+θ2)2,m2=(θ2−θ1)22

得出θ1,θ2的解分别为

θ̂ =X̂ −3m2‾‾‾‾√,θ2^=X⎯⎯⎯+3m2‾‾‾‾√ 公式（1）

也可以用S代替m2‾‾‾√

二项分布

设总体有二项分布B(N,p)，X1,⋯,Xn为从该总体中抽出的样本，要估计p，矩估计为X⎯⎯⎯/N。
我们知道，

X⎯⎯⎯=Np,m2=Np(1−p)

根据上面的式子，我们可以得到p=X⎯⎯⎯/N，当然也可用m2来求。

泊松分布

设总体有泊松分布P(λ),X1,⋯,Xn为从该总体中抽出的样本，要估计λ。
由于λ是总体分布的均值，按矩估计法，可用样本均值X⎯⎯⎯去估计；另一方面，λ也是总体分布的方差，故按矩估计法，也可以用m2或S2去估计。在这里，用均值X⎯⎯⎯为优。在一般的情况下，能用低阶矩处理的就不用高阶矩。