4833: [Lydsy2017年4月月赛]最小公倍佩尔数
来源:互联网 发布:gfxbench数据库 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 13:12
4833: [Lydsy2017年4月月赛]最小公倍佩尔数
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Description
令(1+sqrt(2))^n=e(n)+f(n)*sqrt(2),其中e(n),f(n)都是整数,显然有(1-sqrt(2))^n=e(n)-f(n)*sqrt(2)。令g(
n)表示f(1),f(2)…f(n)的最小公倍数,给定两个正整数n和p,其中p是质数,并且保证f(1),f(2)…f(n)在模p意义
下均不为0,请计算sigma(i*g(i)),1<=i<=n.其在模p的值。
Input
第一行包含一个正整数 T ,表示有 T 组数据,满足 T≤210 。接下来是测试数据。每组测试数据只占一行,包含
两个正整数 n 和 p ,满足 1≤n≤10^6,2≤p≤10^9+7 。保证所有测试数据的 n 之和不超过 3×10^6 。
Output
对于每组测试数据,输出一行一个非负整数,表示这组数据的答案。
Sample Input
5
1 233
2 233
3 233
4 233
5 233
Sample Output
1
5
35
42
121
HINT
Source
鸣谢Tangjz提供试题
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这感觉是道非常非常难的数学题。。。
以下为了方便,记(a,b)=gcd(a,b),[a,b]=lcm(a,b)
好像数学上也是这样表示的?
不管怎么样先打个表,
发现f(1)=1,f(2)=2,f(n)=2f(n−1)+f(n−2)
既然f 函数这么有规律,那么g 呢。。。。好吧死活没有
于是就去翻译题解了。。。。。。题解真难!
先是把递推式的转移矩阵列出来,然后手算几项
发现有规律f(n+m)=f(n−1)f(m)+f(n)f(m+1)
然后大力数学归纳一下。。。发现是能证明的。。
于是(f(n+m),f(n))=(f(n−1)f(m),f(n))
由打出来的表不难发现,f(n−1) 和f(n) 是互质的
所以(f(n−1)f(m),f(n))=(f(m),f(n)) ,
显然把互质部分的因子去掉等式仍然成立
考虑辗转相除法的过程,可以证明(f(n),f(m))=f((n,m))
考虑任意两个位置a,b ,[f(a),f(b)]=f(a)f(b)(f(a),f(b))=f(a)f(b)f((a,b))
考虑这个式子([a1,a2,…,an],b)
可以只关心每类素因子对答案的贡献
于是原式可化为[(a1,b),(a2,b),…,(an,b)]
考虑任意三个位置i,j,k
[f(i),f(j),f(k)]=[f(i),f(j)]f(k)([f(i),f(j)],f(k))=f(i)f(j)f((i,j))f(k)[f((i,k)),f((j,k))]
下面那个lcm 暴力展开就得到f(i)f(j)f(k)f((i,j,k))f((i,j))f((i,k))f((k,j))
于是乎大胆猜结论???(一辈子猜不出来系列)
上面是小清新与现实的分割线
令Sn={1,2,…,n}
g(n)=∏T⊆Sf(gcdi∈T(i))(−1)|T|+1
这东西。。。听说可以归纳(这个部分苟蒻亲身写了式子。。然后吐了)
那就假装是可以用归纳法证明的吧!(皆大欢喜:D)
再定义f(n)=∏d|nh(d)
于是原式又化为∏T⊆S∏d|gcdi∈T(i)h(d)(−1)|T|+1
这个式子。。。题解化到结果的操作姿势太玄学。。完全看不懂
结果竟是g(n)=∏ni=1h(i)
又h(n)=∏d|nf(d)u(nd)
这个用类似证明莫比乌斯反演的证明方式证明
反正剩下就是大力调和级数筛筛筛。。。
复杂度O(nlogn)
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 1E6 + 5;int n,p,T,tot,f[maxn],g[maxn],h[maxn],mu[maxn],pri[maxn];bool not_pri[maxn];#define Mul(a,b) (1LL * (a) * (b) % p)#define Add(a,b) ((a) + (b) < p ? (a) + (b) : (a) + (b) - p)inline int ksm(int x){ int ret = 1; for (int y = p - 2; y; y >>= 1) { if (y & 1) ret = Mul(ret,x); x = Mul(x,x); } return ret;}void Solve(){ scanf("%d%d",&n,&p); f[1] = h[1] = g[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { f[i] = Add(Mul(2,f[i - 1]),f[i - 2]); g[i] = ksm(f[i]); h[i] = 1; } for (int i = 1; i <= n; i++) { if (mu[i] == 1) { for (int j = i,now = 1; j <= n; j += i,now++) h[j] = Mul(h[j],f[now]); } else if (mu[i] == -1) { for (int j = i,now = 1; j <= n; j += i,now++) h[j] = Mul(h[j],g[now]); } } int Ans = 0,tmp = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { tmp = Mul(tmp,h[i]); Ans = Add(Ans,Mul(i,tmp)); } cout << Add(Ans,p) << endl;}int main(){ #ifdef DMC freopen("DMC.txt","r",stdin); #endif mu[1] = 1; for (int i = 2; i < maxn; i++) { if (!not_pri[i]) pri[++tot] = i,mu[i] = -1; for (int j = 1; j <= tot; j++) { int Nex = i * pri[j]; if (Nex >= maxn) break; not_pri[Nex] = 1; if (i % pri[j] == 0) { mu[Nex] = 0; break; } mu[Nex] = -mu[i]; } } cin >> T; while (T--) Solve(); return 0;}
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