2-SAT问题

图论·2-SAT

部分内容来自
http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/10/05/2712429.html

描述：

现有一个由N个布尔值组成的序列A，给出一些限制关系，比如A[x] AND A[y]=0、A[x] OR A[y] OR A[z]=1等，要确定A[0..N-1]的值，使得其满足所有限制关系。这个称为SAT问题，特别的，若每种限制关系中最多只对两个元素进行限制，则称为2-SAT问题。

由于在2-SAT问题中，最多只对两个元素进行限制，所以可能的限制关系共有11种：
A[x]
NOT A[x]
A[x] AND A[y]
A[x] AND NOT A[y]
A[x] OR A[y]
A[x] OR NOT A[y]
NOT (A[x] AND A[y])
NOT (A[x] OR A[y])
A[x] XOR A[y]
NOT (A[x] XOR A[y])
A[x] XOR NOT A[y]
进一步，A[x] AND A[y]相当于(A[x]) AND (A[y])（也就是可以拆分成A[x]与A[y]两个限制关系），NOT(A[x] OR A[y])相当于NOT A[x] AND NOT A[y]（也就是可以拆分成NOT A[x]与NOT A[y]两个限制关系）。因此，可能的限制关系最多只有9种。

在实际问题中，2-SAT问题在大多数时候表现成以下形式：有N对物品，每对物品中必须选取一个，也只能选取一个，并且它们之间存在某些限制关系（如某两个物品不能都选，某两个物品不能都不选，某两个物品必须且只能选一个，某个物品必选）等，这时，可以将每对物品当成一个布尔值（选取第一个物品相当于0，选取第二个相当于1），如果所有的限制关系最多只对两个物品进行限制，则它们都可以转化成9种基本限制关系，从而转化为2-SAT模型。

建模：

其实2-SAT问题的建模是和实际问题非常相似的。
建立一个2N阶的有向图，其中的点分为N对，每对点表示布尔序列A的一个元素的0、1取值（以下将代表A[i]的0取值的点称为i，代表A[i]的1取值的点称为i’）。显然每对点必须且只能选取一个。然后，图中的边具有特定含义。若图中存在边

求解：

O(m)算法：判断是否可行，求一组可行解

建好图后跑强连通分量，如果x0和x1在同一个强连通分量里则无解，如果x1所在的强连通分量的拓扑序在x2所在的强连通分量之后，则x为真；否则为假。
（拓扑序哪个大哪个是对的）
为了方便拓扑序，求强连通分量的时候建议使用两遍dfs直接求出拓扑序的方法。

O(m)算法，判断是否可行，求字典序最小的解

x是一个还没有考虑到的编号最小变量，为了字典序最小，先假设它为否，标记x0，从x0开始dfs，标记沿途进过的点，如果发现矛盾，即一个点的0和1都被标记了，则说明x为否不行，把沿途的标记清除。
标记x1，重复上述过程。
如果发现x0 x1都不行，则原问题无解。
最后如果x0被标记了，x为否；x1被标记了，x为真。

Code:

bool dfs(int x){    if(mark[x^1]) return false;    //x^1 必须从0开始编号     if(mark[x]) return true;    mark[x]=true;     S[++S[0]]=x;    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){        if(!dfs(e[i].to)) return false;    }    return true;}bool solve(){    for(int i=0;i<n*2;i+=2){        if(!mark[i] && !mark[i+1]){            S[0]=0;            if(!dfs(i)){                while(S[0]) mark[S[0]--]=false;                if(!dfs(i+1)) return false;            }        }    }    return true;}