SPFA求单源最短路径

序

求最短路径的算法有很多，各有优劣。
比如Dijkstra（及其堆(STL-priority_queue)优化），但是无法处理负环的情况；
比如O(n^3)的Floyd算法；比如Bellman-Ford算法，可以处理负环的情况。

SPFA算法就是基于Bellman-Ford算法的改进。
SPFA，全称为Shortest Path Faster Algorithm，也被很多Oler笑称为Super Fast Algorithm.
无可否认的是，SPFA的效率的确很高。

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逻辑与思路

SPFA的核心代码很短，只有三十行（但是还有各种初始化）。
乍一看就是一个广度优先搜索。下文的代码是一个指针操作的，进行一定优化的，使用一个不太常见的方法存边写的spfa函数。

初始化

1.将所有点的距离设为INF(memset(0x3f))，及无穷大，将到源点的距离设为(dis[st] = 0);
2.将源点压入队列q；(q.push_back(st));

循环执行直到队列为空

取出队首节点cur，对所有与cur相连的节点进行以下操作：
如果源点到cur的距离与cur到该节点距离的和小于源点到该节点的距离，则更新源点对该节点的距离，并将该节点压入队列;
也就是： if(dis[cur] + edge[cur, i] < dis[i]) update(dis[i]); q.push_back(i);

最终得到的各点距离就是最短路径（如果不连通，则距离为初始值INF）。

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原理：

从直觉层面上想，这不难理解。
如果该节点的最短路径被更新（也就是变小），则说明通过该节点到其他节点的路径长度便有可能因此变小。
于是压入队列，等待下一次操作。

优化

用一个双端队列维护。
如果得到新的距离dis[ne]小于位于队首的距离dis[q.front()]，则将该节点压入队首，反之则压入队尾。实测效率的确更高。

另一个优化是队列节点进出现一次。
用一个数组wh[I]表示节点i是否在队列中，如果在则只更新距离不压入队列（因为队列里有）。

图的存储方式

大致有三种方式存储。
一是邻接矩阵，不推荐，除了好写一点，又费空间又费时间。
二是前向心，存每条弧的next指向与之节点相连的另一节点。不常写，不做评价。
三是将所有弧存入一个vector（或者数组），记录所有节点与之相连弧的编号。下文的代码实现便是基于这种存储方式。

具体存储方式：
1.读入每一条弧的信息，将它们存入vector中。
2.每次存储时，将该弧的标号（或者指针）存到另一个vector中。
例如读入一条弧： edge a -> b, weight(a, b) = c.
存边的结构体存储每条弧的始点，终点与权重（最短路径则不需要存权重）

struct Edge{    int st, en, weight;    Edge(){}    Edge(int s, int e, int w):        st(s), en(e), weight(w){}};

那么按照以下操作。（如果是有向图则不需要存回边）

read(a); read(b); read(c);edge.push_back(Edge(a, b, c));edge.push_back(Edge(b, a, c));arc[a].push_back(edge.size()-2);arc[b].push_back(edge.size()-1);

当然也可选择只存一次边，但是如果是存储网络流，则必须这么存。

那么遍历所有与节点x相连的弧便是这样的。

for(int i = 0, i_end_ = arc[x].size(); i < i_end_; ++i){    int j = arc[x][i];    Edge& e = edge[j];    ne = e.en;//e.en就是弧的终点}

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SPFA代码实现

void Spfa(){    int q[maxn];    int *s = q, *t = s + 1, *en = q + n + 1;    int cur, ne, cur_dis;    bool wh[maxn] = {0};    Edge *j;    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);    dis[st] = 0;    *s = st;    while(s != t)    {        cur = *s++;        s = s == en ? q : s;        wh[cur] = 0;        REP(i, 0, arc[cur].size())//for(int i = 0; i < arc[cur].size(); ++i)        {            j = arc[cur][i];            ne = j -> en;             cur_dis = dis[cur] + j -> weight;             if(cur_dis < dis[ne])                {                dis[ne] = cur_dis;                if(wh[ne])  continue;                wh[ne] = 1;                if(dis[ne] < dis[*s])                {                    s = s == q ? en - 1 : s - 1;                    *s = ne;                }                else *t++ = ne;                t = t == en ? q : t;            }        }    }    return ;}

以上代码为了提高整体效率，牺牲了一定可读性，基本使用指针操作。
但是效率的提高是非常可观的。从800+ms -> 400+ms。

可以在洛谷上交一下板子题。
luogu P3371 【模板】单源最短路径

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完整代码实现

/*About:From: luogu 3371Auther: kongse_qiDate:2017/05/24*/#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <vector>#include <ctype.h>namespace IO{    static int in;    static char *X, *Buffer;    static char c;    void Get_All()    {        fseek(stdin, 0, SEEK_END);        long long file_lenth = ftell(stdin);        rewind(stdin);        X = Buffer = (char*)malloc(file_lenth);        fread(Buffer, 1, file_lenth, stdin);        return ;     }    void Get_Int()    {        in = 0;        while(!isdigit(*X))    ++X;        while(isdigit(*X))        {            in = in * 10 + *(X++) - '0';        }        return ;    }}//读入优化,注意必须是文件读入using namespace IO;using namespace std;#define read(x) Get_Int(), x = in;#define REP(i, a, b) for (int i = (a), i##_end_ = b; i < i##_end_; ++i)#define min(a, b) a > b ? b : aconst int maxn = 10005;const int INF = 2147483647;const int maxm = 500005;struct Edge{    int st, en, weight;    Edge(){}    Edge(int f, int t, int w):        st(f), en(t), weight(w){}};int n, m, st;int dis[maxn]; Edge edge[maxm], *cur = edge;vector<Edge*> arc[maxn];int q[maxn]; void Add_Edge(int& st, int& en, int& weight){    *cur = Edge(st, en, weight);    arc[st].push_back(cur++);    return ;} void Read(){    int a, b, c;    read(n); read(m); read(st);    REP(i, 0, m)    {        read(a); read(b); read(c);        if(a != b)         {            Add_Edge(a, b, c);        }    }    return ;}void Spfa(){    int *s = q, *t = s + 1, *en = q + n + 1;    int cur, ne, cur_dis;    bool wh[maxn] = {0};    Edge *j;    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);    dis[st] = 0;    *s = st;    while(s != t)    {        cur = *s++;        s = s == en ? q : s;        wh[cur] = 0;        REP(i, 0, arc[cur].size())        {            j = arc[cur][i];            ne = j -> en;             cur_dis = dis[cur] + j -> weight;             if(cur_dis < dis[ne])                {                dis[ne] = cur_dis;                if(wh[ne])  continue;                wh[ne] = 1;                if(dis[ne] < dis[*s])                {                    s = s == q ? en - 1 : s - 1;                    *s = ne;                }                else *t++ = ne;                t = t == en ? q : t;            }        }    }    return ;}void Print(){    int *p = dis + 1;    REP(i, 1, n + 1)    {        *p = *p == 0x3f3f3f3f ? INF : *p;         printf("%d ", *p++);    }    return ;}int main(){    freopen("test.in", "r", stdin);    Get_All();     Read();    Spfa();    Print();    return 0;}

至此结束。
箜瑟_qi 10:07 2017.05.25