UVALive 4849 String Phone

图论·2-SAT

https://www.bbsmax.com/A/A2dm7YOJen/

一眼看去以为是4-sat。。。

题目大意：

给n（n<=3000）个黑方块的坐标，保证黑方块没有公共边。对于每个黑方块选一个角作为结点，使得所选结点满足输入的一个无向图。其中距离为曼哈顿距离。输出是否有解。possible或impossible。

题解：

题意：给n（n<=3000）个黑方块的坐标，保证黑方块没有公共边。对于每个黑方块选一个角作为结点，使得所选结点满足输入的一个无向图。其中距离为曼哈顿距离。输出是否有解。possible或impossible。

对于每个黑方块，4个角落必须选且仅选一个。一开始2-sat建模是对于一个pnt[i]，有4对点pnt[i][0], pnt[i][0]’, pnt[i][1], pnt[i][1]’, pnt[i][2], pnt[i][2]’, pnt[i][3], pnt[i][3]’。但是这样建模只能保证4个角落至多选一个（pnt[i][j]连pnt[i][k]’ (k!=j)），保证不了至少选一个。

参考别人代码，发现神做法。类似2-sat的嵌套。。。01染色+2sat

把4个角落分组，左上和右下为第0组，右上和左下为第1组。（因为左上和右下的曼哈顿距离为2，有可能共存；右上和左下同理）。而左上和右上不可能共存，左上和左下同理。（没必要也没有意义把不共存的分为一组。）

通过染色，可以确定每个黑方块只有2种选择（黑方块染为第0组，则只能选左上或右下，且必须选且仅选一个；第1组同理）。到这里就可以看得出，显然的2-sat模型。感觉就像是2*2sat==4sat。

Code：

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <algorithm>#define D(x) cout<<#x<<" = "<<x<<"  "#define E cout<<endl using namespace std;const int N = 6005;const int M = 300005*8;const int dx[2][2]={{0,1},{0,1}};const int dy[2][2]={{0,1},{1,0}};int n,m;int col[N]; struct Edge{    int to,next,w;};struct G{    Edge e[M*2]; int head[N],ec;    void clear(){ memset(head,0,sizeof(head)); ec=0; }    void add(int a,int b,int w=0){ //      if(w==0){ D(a); D(b); E; }        ec++; e[ec].to=b; e[ec].w=w;        e[ec].next=head[a]; head[a]=ec;     }} g;struct Point{    int x,y;    Point(){}    Point(int _x,int _y){ x=_x; y=_y; }    void input(){ scanf("%d%d",&x,&y); }} p[N], pp[N][2];inline int dis(const Point &a,const Point &b){    return abs(a.x-b.x)+abs(a.y-b.y);}inline int mindis(const Point &a,const Point &b){    return max(abs(a.x-b.x)-1,0) + max(abs(a.y-b.y)-1,0);}inline int maxdis(const Point &a,const Point &b){    return abs(a.x-b.x)+abs(a.y-b.y)+2;}struct SAT{    bool mark[N]; int S[N],c;    G sat_g;    inline int ID(int x,int y){ return (x-1)*2+y; }    void build(){        sat_g.clear();        for(int u=1;u<=n;u++){            if(col[u]==-1) continue;            for(int i=g.head[u];i;i=g.e[i].next){                int v=g.e[i].to;                int w=g.e[i].w;                int dis1=dis(pp[u][0],pp[v][0]);                int dis2=dis(pp[u][0],pp[v][1]);                if(dis1!=w && dis2!=w){                    sat_g.add(ID(u,0),ID(u,1));                }                else if(dis1==w && dis2!=w){                    sat_g.add(ID(u,0),ID(v,0));                }                else if(dis1!=w && dis2==w){                    sat_g.add(ID(u,0),ID(v,1));                }                dis1=dis(pp[u][1],pp[v][0]);                dis2=dis(pp[u][1],pp[v][1]);                if(dis1!=w && dis2!=w){                    sat_g.add(ID(u,1),ID(u,0));                }                else if(dis1==w && dis2!=w){                    sat_g.add(ID(u,1),ID(v,0));                }                else if(dis1!=w && dis2==w){                    sat_g.add(ID(u,1),ID(v,1));                }            }        }    }    bool dfs(int u){        if(mark[u^1]) return false;        if(mark[u]) return true;        mark[u]=true; S[c++]=u;        for(int i=sat_g.head[u];i;i=sat_g.e[i].next){            if(!dfs(sat_g.e[i].to)) return false;        }        return true;    }    bool solve(){        memset(mark,false,sizeof(mark));        for(int i=0;i<n*2;i+=2){            if(!mark[i] && !mark[i+1]){                c=0;                if(!dfs(i)){                    while(c) mark[S[--c]]=false;                    if(!dfs(i+1)) return false;                }            }        }        return true;    }} sat;struct UNSet{    int pa[N];    void init(){ for(int i=1;i<=n;i++) pa[i]=i; }    int find(int x){        if(x!=pa[x]) pa[x]=find(pa[x]);        return pa[x];    }} unset;bool color(int u,int bo){    col[u]=bo;    for(int i=g.head[u];i;i=g.e[i].next){        int v=g.e[i].to;        bool bo2 = (dis(p[u],p[v])&1) ^ (g.e[i].w&1) ^ bo;        if(col[v]==-1){            if(color(v,bo2)==false) return false;        }        else if(col[v]!=bo2) return false;    }    return true;}bool judge(int u,int bo){    memset(col,-1,sizeof(col));    if(color(u,bo)==false) return false;//  for(int i=1;i<=n;i++){//      D(i); D(col[i]); E;//  }    for(int i=1;i<=n;i++){        if(col[i]==-1) continue;        pp[i][0]=Point(p[i].x+dx[col[i]][0],p[i].y+dy[col[i]][0]);        pp[i][1]=Point(p[i].x+dx[col[i]][1],p[i].y+dy[col[i]][1]);    }//  for(int i=1;i<=n;i++){//      cout<<pp[i][0].x<<" "<<pp[i][0].y<<"  "<<pp[i][1].x<<" "<<pp[i][1].y<<endl;//  }    sat.build();    bool ans=sat.solve();    return ans;}int main(){    freopen("a.in","r",stdin);    int T; cin>>T;    while(T--){        cin>>n;        for(int i=1;i<=n;i++) p[i].input();        cin>>m; g.clear(); unset.init();        int a,b,w; bool flag=true;        for(int i=1;i<=m;i++){            scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);            g.add(a,b,w); g.add(b,a,w);//          if(w < mindis(p[a],p[b]) || w > maxdis(p[a],p[b])){//              flag=false; break;//          }             if(unset.find(a)!=unset.find(b)) unset.pa[unset.find(a)]=unset.find(b);        }        for(int i=1;i<=n && flag;i++){            if(unset.pa[i]==i){//              D(i); E;                if(!judge(i,0) && !judge(i,1)){                    flag=false;                }            }        }        if(flag) puts("possible");        else puts("impossible");    }}