dp入门与两个基础的背包问题

引子：

第一个问题：现在有3种硬币，1角钱，2角钱，3角钱，那么问题来了凑出n角钱最少需要多少硬币。

这个问题可以用贪心法解决。如果n比3大，那么一直取3就好了。最后少的要么是2，要么是1，所以答案是n/3+(n%3)?1:0;

第二个问题：现在有3种硬币，2角钱，3角钱，5角钱，那么问题来了凑出n角钱最少需要多少硬币。

如果n为16的话，一直取5那么最后剩1，就就不行了。

这时候就要用到动态规划。

01背包

01背包问题描述：现在有n个物品，人现在有一个容量为m的背包，每个物品有价值vi和重量wi，那么问题来了，在总重量不超过m的情况下使得价值最大，请问该怎么选？

这是最基础的问题，特点是对于每一种物体仅有一个，只存在放或者不放两种情况。

我们设p[i][j]表示前i个物体放入一个容量为j的背包时的最大价值。那么对于p[i-1]来说，我们可以看出就是一个取第i个和不取第i个的区别。那么就可以列出式子

p[i][j]=max( p[i-1][j] , p[i-1][j-w[i]]+v[i] )；

所以我们可以列出式子

for(int i=0;i<n;i++)

for(int j=m;j>=w[i];j--)

p[j]=max(p[i-1][j],p[i-1][j-w[i]]+v[i]);

至于为什么第二重循环要从m循环到w[i]呢，其实在这里从m到w[i]或者从w[i]到m是无所谓的。

但是，如果只用一维数组来存结果，那么第二重循环就必须从m减到w[i]了。因为一维数组默认用到的前一个p[i-1][j]的值，我们必须保证用到的是上一层循环留下来的数据而不是这个i值留下来的新的数据。

for(int i=0;i<n;i++)

for(int j=m;j>=w[i];j--)

p[j]=max([j],p[j-w[i]]+v[i]);

是不是简单多了？

完全背包

完全背包问题是另外一种背包问题，还是原来的m,w[i],v[i],但是这时候每种可以取无数多个。

那么最直接的想法，f[i-1][j]=max{ f[i-1][v-k*v[i]]+k*w[i] },0<k<m/w[i]

然而这个算法复杂度是O(n^3)的，太恐怖了，简直不堪入目，不到万不得已不能用的。

那么怎么办呢？对于f[i-1][j]来说，再用取或者不取的思路来说，应该是f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w[i]]+v[i])

这时候我们可以想一想，上面01背包的第二重循环为什么要从m到w[i]，就是为了保证每种只取一次。现在既然每种可以取无限次，那么就没必要从m开始循环了，从0开始恰好就满足了完全背包的条件。

for(int i=0;i<n;i++)

for(int j=v[i];j<=v;j++)

dp[j]=max(dp[j-1],dp[j-v[i]]+w[i]);

那么dp[n][m]就是答案了。