codevs 3012 线段覆盖4（dp+二分优化）

题目描述 Description
数轴上有n条线段，线段的两端都是整数坐标，坐标范围在0~1000000，每条线段有一个价值，请从n条线段中挑出若干条线段，使得这些线段两两不覆盖（端点可以重合）且线段价值之和最大。

输入描述 Input Description
第一行一个整数n，表示有多少条线段。

接下来n行每行三个整数, ai bi ci，分别代表第i条线段的左端点ai，右端点bi（保证左端点<右端点）和价值ci。

输出描述 Output Description
输出能够获得的最大价值

样例输入 Sample Input
3

1 2 1

2 3 2

1 3 4

样例输出 Sample Output
4

数据范围及提示 Data Size & Hint
n <= 1000000

0<=ai,bi<=1000000

0<=ci<=1000000

数据输出建议使用long long类型（Pascal为int64或者qword类型）

思路：如果数据范围小的话，我们用简单的dp+快排 （n^2+nlogn）即可水过，但是数据这么大，所以我们需要考虑优化dp了。外层循环基本是没法优化了，所以我们考虑优化内层循环，内层循环主要是干两件事，1.找出所有线段j满足线段j的右端点小于等于线段i的左端点，2.然后找出max（dp[j]）。对于第一件事，因为我们已经将线段按右端点的位置大小进行了排序，所以线段右端点的值是单调递增的，所以我们可以用二分法来找到右端点最靠近线段i的左端点的线段j，那么1到j线段都是满足右端点小于线段i的左端点。然后对于第二件事我们可以用一个数组p[k]来记录线段1到k间的最大值dp[k]，那么查询时间就降到了O（1）。整个dp的时间复杂度就降到了nlogn。

状态转移方程 dp[i]=p[check(0，i，a[i].l)]+a[i].w

代码如下

#include <iostream>  #include <cstdio>  #include <cstring>  #include <cmath>  #include <algorithm>using namespace std;  const int N=1000005;struct line{    int l,r,w;//分别表示左右端点的坐标和该线段的价值。}a[N];long long int dp[N],p[N];//dp[i]表示选取线段i所能得到的最大价值，p[i]表示1到i中最大的dp[]值bool cmp(line a,line b){    return a.r<b.r;}inline int check(int l,int r,int left){    while(r-l>1)    {        int mid=(r+l)/2;        if(a[mid].r>left)        {            r=mid;        }        else         l=mid;    }    return l;}int main(){        int n;        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d%d%d",&a[i].l,&a[i].r,&a[i].w);        }        sort(a+1,a+1+n,cmp);        dp[0]=0;        p[0]=0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            dp[i]=p[check(0,i,a[i].l)]+a[i].w;            p[i]=max(dp[i],p[i-1]);        }        printf("%lld\n",p[n]);    return 0;}