bzoj2669 [ CQOI2012 ] -- DP+容斥

假设我们可以求出当a[1]..a[i]是局部最小值而其它点不加限制时的方案数，那么显然可以通过容斥求出答案。

那么怎么求当一些点是局部最小值时的方案数呢？

考虑DP。将数字从小到大放。令f[i][j]表示已经放了i个数，局部最小值的点的状态为j时的方案数，可得到方程：

f[i][j]=Σf[i-1][j]*cnt[j-(i-1)]+f[i-1][j^k](k&j>0)

其中cnt[j]表示当局部最小值的状态为j时能放数字的位置的个数与已放数字的局部最小值的个数之和。

显然cnt可以在每次DP前预处理出。

时间复杂度O(8*n*m*2⁸*容斥)

容斥的时间复杂度大约为10000

代码：

 1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 #define M 12345678  6 int d[3]={-1,1,0}; 7 int X[9]={1,1,1,-1,-1,-1,0,0,0}; 8 int Y[9]={1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1}; 9 int i,j,k,n,m,f[30][1<<8],Cnt[1<<8],Tot,K,c[10][10],p[10],Ans;10 bool a[10][10],b[10][10];11 char s[10];12 inline int Calc(){13     Tot=0;14     for(int i=1;i<=n;i++)15     for(int j=1;j<=m;j++)16     if(a[i][j])c[i][j]=++Tot;else c[i][j]=0;17     for(int s=0;s<p[Tot];s++){18         Cnt[s]=0;19         for(int i=1;i<=n;i++)20         for(int j=1;j<=m;j++){21             if(c[i][j]&&s&p[c[i][j]-1])Cnt[s]++;22             if(!c[i][j]){23                 int a1,a2;24                 for(a1=0;a1<3;a1++){25                     for(a2=0;a2<3;a2++)26                     if(c[i+d[a1]][j+d[a2]]&&!(s&p[c[i+d[a1]][j+d[a2]]-1]))break;27                     if(a2<3)break;28                 }29                 if(a1==3)Cnt[s]++;30             }31         }32     }33     memset(f,0,sizeof(f));34     f[0][0]=1;35     for(int i=1;i<=n*m;i++)36     for(int k=0;k<p[Tot];k++){37         f[i][k]=f[i-1][k]*(Cnt[k]-i+1)%M;38         for(int j=0;j<Tot;j++)39         if(p[j]&k)f[i][k]=(f[i][k]+f[i-1][k^p[j]])%M;40     }41     return f[n*m][p[Tot]-1];42 }43 inline void Dfs(int x,int y,int z){44     if(x==n+1){45         Dfs(1,y+1,z);46         return;47     }48     if(y==m+1){49         Ans=(Ans+(z&1?-1:1)*Calc())%M;50         return;51     }52     Dfs(x+1,y,z);53     for(i=0;i<3;i++){54         for(j=0;j<3;j++)55         if(a[x+d[i]][y+d[j]])break;56         if(j<3)break;57     }58     if(i==3)a[x][y]=1,Dfs(x+1,y,z+1),a[x][y]=0;59 }60 int main()61 {62     for(p[0]=1,f[0][0]=1,i=1;i<=8;i++)p[i]=p[i-1]<<1;63     scanf("%d%d",&n,&m);64     for(i=1;i<=n;i++){65         scanf("%s",s+1);66         for(j=1;j<=m;j++)67         if(s[j]=='X')a[i][j]=1;68     }69     Dfs(1,1,0);70     printf("%d",(Ans+M)%M);71     return 0;72 }

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