BZOJ 2669: [cqoi2012]局部极小值 状压dp 容斥原理

2669: [cqoi2012]局部极小值

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Description

有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。

给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

Input

输入第一行包含两个整数n和m（1<=n<=4, 1<=m<=7），即行数和列数。以下n行每行m个字符，其中“X”表示局部极小值，“.”表示非局部极小值。

Output

输出仅一行，为可能的矩阵总数除以12345678的余数。

Sample Input

3 2
X.
..
.X

Sample Output

60

考虑对于一个确定局部极小值分布的局面

我们可以从小到大枚举每一个数填到矩阵中

对于该数是否为局部极小值进行讨论

具体如下

考虑局部极小值的数量极小（简单的构造后发现最多8个）

所以可以考虑把这为数不多的几个位置压起来

再根据填数的方式 就可以得到dp式

f[i][j]表示枚举前i个数填入 局部极小值填充状态为j的方案数

现在回头考虑向矩阵中填数的过程

我们从小到大枚举每一个数，将其填入

若局部极小值填充状态不变，则该点的填充位置受限

/*因为不能影响其他的局部极小值，即不能在现有状态覆盖的区域外

这个可以预处理对于每一种状态可填的位置多少，用乘法原理一乘就好了*/

否则直接填入一个局部极小值，由上一个不同的填充状态转移

之后 我们发现

我们只知道一部分局部极小值填充的状态

可是未覆盖的位置是否有其他的局部极小值却不得而知

这样的话 我们就枚举所有可能的局部极小值分布状态 容斥原理搞掉

之后就完事了。

#include<cmath>#include<ctime>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>#include<iomanip>#include<vector>#include<string>#include<bitset>#include<queue>#include<map>#include<set>using namespace std;typedef long long ll;inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}void print(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>=10)print(x/10);putchar(x%10+'0');}const int N=10,mod=12345678;const int xx[N]={-1,-1,-1,0,0,1,1,1},yy[N]={-1,0,1,-1,1,-1,0,1};int X[N],Y[N],mp[N][N],tot;int n,m;bool vis[N][N];int f[30][(1<<8)+100],num[(1<<8)+100];int ans;int solve(){tot=0;register int i,j,k,x,y,cnt;for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=m;++j)if(mp[i][j])X[++tot]=i,Y[tot]=j;for(i=0;i<(1<<tot);++i){cnt=0;memset(vis,0,sizeof(vis));for(j=1;j<=tot;++j)if((i&(1<<(j-1)))==0){vis[X[j]][Y[j]]=1;for(k=0;k<8;++k){x=X[j]+xx[k];y=Y[j]+yy[k];if(x>0&&y>0&&x<=n&&y<=m)vis[x][y]=1;}}for(j=1;j<=n;++j)for(k=1;k<=m;++k)if(vis[j][k])cnt++;num[i]=n*m-cnt;}memset(f,0,sizeof(f));f[0][0]=1;for(i=1;i<=n*m;++i)for(j=0;j<(1<<tot);++j){f[i][j]=f[i][j]+1ll*f[i-1][j]*max(num[j]-i+1,0)%mod;for(k=1;k<=tot;++k)if(j&(1<<(k-1)))f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j^(1<<(k-1))])%mod;}return f[n*m][(1<<tot)-1];}void dfs(int x,int y,int k){if(y==m+1){dfs(x+1,1,k);return ;}if(x==n+1){k&1?ans=ans+solve():ans=ans-solve();ans=(ans%mod+mod)%mod;return ;}dfs(x,y+1,k);bool flag=0;for(int i=0;i<8;++i)if(mp[x+xx[i]][y+yy[i]]){flag=1;break;}if(!flag&&!mp[x][y]){mp[x][y]=1;dfs(x,y+1,k+1);mp[x][y]=0;}}int main(){n=read();m=read();register int i,j;char s[10];for(i=1;i<=n;++i){scanf("%s",s+1);for(j=1;j<=m;++j)if(s[j]=='X')X[++tot]=i,Y[tot]=j,mp[i][j]=1;}dfs(1,1,1);cout<<(ans%mod+mod)%mod<<endl;return 0;}