采样定理总结

一、基本概念

1. 采样定理：A/D转换器中，奈奎斯特定理规定采样速率必须至少是模拟信号带宽最大值的两倍，以便完全恢复信号。
2. 适用条件：定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零。
3. 混叠：如果不能满足采样定理，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。
4. 采样（信号离散化）：采样器由电子开关组成，开关每隔Ts秒短暂闭合一次，接通连续信号，实现一次采样。
   采样过程：
   

二、证明采样定理的必要性

1. 理想采样过程：
   理想采样过程可看作对冲激脉冲载波的调幅过程，用M(t)表示冲激载波，
   
   其Fourier展开式：
   
   那么理想采样过程：
   

2. 原始信号频谱
   
   满足条件:
   

3. 现在来计算采样信号的频谱
   

4. 与原始信号的频谱对比，发现，理想采样信号的频谱是原始信号频谱的周期延拓，周期为采样频率
   并且，采样信号的频谱幅值是原始信号的1/T倍。

5. 分别画出两者的频谱图：

   图中可以看出，要想从理想采样频谱恢复原始信号的的频谱，只需要将大于和小于的频率部分用滤波器去掉，再乘以幅值倍数T。但是，如果信号的最高频率超过采样频率的一半，在理想采样频谱中，各次调制频谱就会相互交叠，出现频谱的混淆现象。当出现频谱混淆后，一般不可能无失真的滤出基带频谱， 用基带滤波后恢复出来的信号就要失真。
   因此，要想尽可能减少采样恢复后的信号失真，就要选择满足采样定理的采样频率。

三、一些典型的采样频率数值

四、为什么实际采样过程使用比信号高得多（3-5倍）的采样频率？

主要是考虑到抗混叠滤波器设计指标。
ps.什么是抗混叠滤波器？

比如乐器小号，信号频率中有一些人耳听不到的高频分量，对信号采样可能带来混叠失真，采样前需要用抗混叠滤波器先将这些不能感知的信号分量滤除。

采样频率越接近，滤波器越难实现。关于抗混叠滤波器的设计指标以后再说。