【Derivation】采样定理证明

• 时域采样定理

 对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信 号的频谱以采样频率为周期进行周期延拓形成的。
 设连续信号的最高频为fmax，如果采样频率fs≥2fmax，那么采样信号可以唯一恢复出原连续信号；否则会出现频谱混叠，信号无法完全恢复。

• 设计原理图
  

• 时域采样与频域分析
  对一连续信号f(t)进行理想采样可以表示为
  

  fs(t)=f(t)s(t)=∑n=−∞+∞f(nT)δ(t−nT)
  
  其中fs(t)为f(t)的理想采样，s(t)为周期脉冲信号，即
  
  s(t)=∑n=−∞+∞δ(t−nT)
  
  由频域卷积定理，fs(t)的傅立叶变换为
  
  Fs(jw)=1T∑n=−∞+∞F[j(w−nΩ)]
  
  其中Ω=2πT,F(jw)为f(t)的傅立叶变换。
  上式表明，Fs(jw)为F(jw)的周期延拓。只有满足采样定理时，才不会发生频谱混叠混叠
  在实际计算中，常采用如下等价的公式进行计算
  
  Fs(jw)=∑n=−∞+∞F(nT)e−jnΩt

• 信号复原
  这里信号恢复是指由fs(t)经过函数内插，恢复原始信号f(t)的过程，
  具体而言即
  

  f(t)=f(t)∗s(t)//求卷积
  
  其中插值函数
  
  h(t)=TwcπSa(wct)
  
  其中wc为低通滤波器的截止频率。将fs(t)和h(t)代入恢复公式，即得
  
  f(t)=f(t)∗s(t)=h(t)=∑n=−∞+∞f(nT)δ(t−nT)TwcπSa(wct)=Twcπ∑n=−∞+∞f(nT)Sa(wct(t−nT))
  
  上式即信号恢复的基本公式。
  内插公式表明模拟信号f(t)等于各采样点数值乘以对应内插函数的总和，只要采样频率高于信号频率的两倍，模拟信号就可以用它的采样值表示，而不丢失任何信息。