Leetcode——84.Largest Rectangle in Histogram && 85.Maximal Rectangle

直方图中的最大矩形（Largest Rectangle in Histogram）

1.问题描述

Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].

The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.

For example,
Given heights = [2,1,5,6,2,3],
return 10.

简单来说，就是给出一个n个非负数，表示直方图每一列的高度，找出直方图中最大矩形的面积。

2.思路

一开始打算使用遍历的方法，比较容易想到也容易理解。方法是使用两层循环，计算从当前位置i开始，到i，i+1，i+2，...到最后一个数的最大矩形面积。算法描述如下：

从i = 0开始到i = heights.size()-1：将当前i的高度记为minh；从j = i开始循环到j = heights.size()-1：minh取当前j列的高度与自身的最小值；Res取minh*(j - i + 1) 和自身的最大值。结束内循环结束外循环

这个算法时间复杂度是O(n²)，很容易就超时了。

所以，只能找找其他思路。画图想想。

如上图，从1到3是递增的，然后开始降为2（第二个2），那么3在这里是最高的（比左右高），那它单独一列的面积就可能是最大的（比如说这一列是20），那我们先记下这个面积。

接着对2（第二个2）进行处理，和前面的2（第一个2）是一样高的，通过图可以看到，此时第2,3,4列可以组成一个3x2的矩阵，那我们继续向后遍历，如果下一列是大于等于2的，说明这个矩阵还能更大。所以向后遍历，发现是1，那么只能是先将前面的3x2给计算了，得到6作为最大面积。

接着对1进行处理，1和前面的1一样高，那么继续往后遍历，后面没了，所以计算第一个1到第二个1的面积，是1x5，比6小，所以最大面积是6。

 

根据这个过程，可以采用栈来实现吗？值小的先进，值大的后进但是先出，可以。

 

使用栈来实现，当遍历时，将1,2,3先后入栈，到2时，比3小，所以将栈顶的3弹出，此时栈里面还有数，那么就计算3*（当前位置 - 当前栈顶数所在位置 - 1）= 3，其中当前位置就是遍历到第二个2时的位置，栈顶数也就是第一个2所在的位置，再减去1，取的是这两列中间的部分。得到3。第一次算的最大值maxarea = 3。

 

将第2个2与栈顶比较，与栈顶相等所以入栈，继续往后遍历，遇到最后的1，此时比栈顶小。那么将栈顶的2弹出，此时栈里面还有其他的数，那么计算2*（4 - 1 - 1）= 4，计算得到第2列和第3列的最大矩形面积。结果4比上一个面积3要大，所以maxarea = 4

 

将1与栈顶比较，栈顶是2，所以将栈顶的2弹出，此时栈里还有其他数，那么计算得到的结果是2 * （4 - 0 - 1）= 6，此时maxarea更新为6；

将1与栈顶比较，栈顶是1，所以入栈，继续往后遍历，后面是空。那此时栈顶1弹出，计算1*（5 - 0 - 1） = 4；

将最后一个数弹出，此时栈里没有其他的数了，那么就是说这个数是最小的，此时面积的计算就是1 * 5 = 5。

最后结果maxarea是6。可以发现，计算过程我们需要用到当前位置，以及栈顶数所在位置，所以我们栈里面维护的数值，必需是使用数组下标。通过数组下标也可以得到具体的数值。此外，为了方便计算，在原本heights数组最后push一个-1，算法的描述如下：

从i = 0到i = heights.size()-1:如果栈s为空或者heights[i]的值大于栈顶：那么i入栈，i自增；否则：Top为栈顶的值，并将栈顶出栈；如果此时栈空了：Temp：栈顶的值乘上i；否则Temp：栈顶的值乘上（i - s.top() - 1）； 将temp和maxarea作比较，取大的作为maxarea的值；结束循环

这个算法只需要遍历一次heights数组，算法复杂度就只有O(N)，比之前那个简陋的思路快了很多，这个思路是参考了其他人的做法，一开始理解起来确实很困难，但是通过画几个图，还是能够理解的。想出这个方法的人也是很厉害呢。

3.代码

int largestRectangleArea_stack(vector<int>& heights) {heights.push_back(-1);int res = 0;stack<int> s;int i = 0;while (i < heights.size()) {if (s.size() == 0 || heights[i] >= heights[s.top()]) {s.push(i);i++;}else {int top = s.top();s.pop();int temp = (s.size() == 0) ? heights[top] * i : heights[top] * (i - s.top() - 1);res = max(res, temp);}}return res;}

最大矩形面积（Maximal Rectangle）

1.问题描述

  还有一道与之类似的题目，是Leetcode里面的Maximal Rectangle，这道题是求最大矩形面积。给出了一个二维矩阵，矩阵里是1和0，求1能够成的最大矩阵面积。举个例子，矩阵如下所示：

1  0  1  0  0

1  0  1  1  1

1  1  1  1  1

1  0  0  1  0

2.思路

实际上，这个矩阵可以看成是直方图的形式来处理。自底下上，每一行可以改写成：

4  0  3  0  0

3  0  2  3  2

2  1  1  2  1

1  0  0  1  0

这个矩阵表示的是‘1’的高度，比如说最下面一行，有1的就是1，没1的就是0；往上一行呢，如果有1那就在上一行的基础上加1，这样迭代上去，但是一旦出现0，那就是0；

 

从下往上，对每一行都进行依次直方图求最大矩形面积的计算，每一行的数字正好表示了当前直方图的高度。经过每一行循环计算，可以得到最大的面积值。

3.代码

int maximalRectangle(vector<vector<char> >& matrix) {if (matrix.empty())return 0;int maxarea = 0;vector<int> height(matrix[0].size(), 0);for (int i = matrix.size() - 1; i >= 0; i--){for (int j = 0; j < matrix[i].size(); j++){if (matrix[i][j] == 0)height[j] = 0;elseheight[j] ++;}maxarea = max(maxarea, largestRectangleArea_stack(height));}return maxarea;}

总结

这是一道很经典的题目，在面试中也常常能遇到。这个思路也很难描述清楚，我觉得还是需要自己画图分析之后才能理解。