越狱(快速幂取模)

问题描述：

监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

输入：

输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

输出：

可能越狱的状态数，模100003取余

例子输入：

2 3

例子输出：

6

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

思路：

所有的可能的情况数为：m^n,不发生越狱的情况数为：m*(m-1)^(n-1)，所以发生越狱的情况数为：m^n-m*(m-1)^(n-1)，所以答案为：(m^n-m*(m-1)^(n-1))%mod。注意：1. 取模；2.快速幂

1.取模运算

1）(m^n-m*(m-1)^(n-1))%mod

 = (m*(m^(n-1)-(m-1)^(n-1)))%mod

 = ((m%mod)*((m^(n-1)-(m-1)^(n-1))%mod)))%mod  （3）

 =((m%mod)*((m^(n-1)%mod)-((m-1)^(n-1)%mod)+mod)%mod))%mod （2）

令：m^(n-1)%mod=quick_power(m,n-1)   (m-1)^(n-1)%mod=quick_power(m-1,n-1)

 =((m%mod)*((a-b+mod)%mod))%mod

 =m*((a-b+mod)%mod)%mod%mod  （6）

 =m*((a-b+mod)%mod)%mod

2）运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

       结合律：

• ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
• ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交换律：

• (a + b) % p = (b+a) % p （7）
• (a * b) % p = (b * a) % p （8）

   分配律：

       (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）

       ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

2.快速幂取模

先讨论无需取模的

　　当b为偶数时：a^b=a^(b/2)*2=(a²)^b/2

　　当b为奇数时：a^b=a*a^b-1=a*(a²)^(b-1)/2

^{例如：210=(22)5=(22)*[(22)2]2}

             ^{211=2*(22)5=2*(22)*[(22)2]2}

归纳总结得到：

　    当指数大于1时，若为偶数，则将指数除以2，底数平方

                                   若为奇数，则先提出一个为底数的系数（可直接把该系数乘进ans中），所以指数减1，然后再按照偶数的办法做

       不断迭代下去，当指数为1时，则直接得出答案


　　最后只要将每次相乘时取模即可，时间复杂度O(log2b)

快速幂取模代码：

inline int mi(int a,int b) {     int ans=1;     while (b)     {         if (b&1) ans=ans*a%mo;         b>>=1;         a=a*a%mo;     }     return ans; }

综上，该题的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const ll  mod=100003;ll n,m;ll quick_power(ll x,ll y){     ll ans=1;     while(y){         if(y&1) ans=(ans*x)%mod;            x=(x*x)%mod;            y>>=1;     }     return ans; } int main(){     scanf("%lld%lld",&m,&n);     printf("%lld\n",m*((quick_power(m,n-1)-quick_power(m-1,n-1)+mod)%mod)%mod);     return 0; }