01-复杂度1 最大子列和问题 (20分)

给定$K$个整数组成的序列{N​1​​,N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​,N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中$1\le i\le j\le K$。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

• 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
• 数据2：10²个随机整数；
• 数据3：10³个随机整数；
• 数据4：10⁴个随机整数；
• 数据5：10⁵个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数KK ($\le 100000$)；第2行给出$K$个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20

思路：

1、三重循环，将所有子序列都遍历过去

2、二重循环，发现1中的第三个循环是多余的，每次把ThisSum置零后，再从第一个开始加，实际上可以直接累加

3、分而治之，先找到左边的最大子列和，再找到右边的最大子列和，再算出跨越边界的最大子列和，最后取三者最大的（不太理解）

4、在线处理，并不需要遍历所有子序列，只要和是负的序列，就抛弃。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>    //测试时间所需头文件clock_t start, stop;double duration;  //函数运行时间表示（单位CLK_TCK=1000，这里不是这个单位，而是这个单位的MAXK倍）#define CLK_TCK CLOCKS_PER_SEC#define N 100005#define MAXK 1e6    //重复执行使duration能够表示时间int MaxSubseqSum1 ( int a[], int n ) {//最笨的办法，时间复杂度O（N^3）int ThisSum, MaxSum = 0;for ( int i = 0; i < n; i++ )for ( int j = 0; j < n; j++ ) {ThisSum = 0;          //新的序列开始，重置for ( int k = i; k <= j; k++ ) {ThisSum += a[k];if ( ThisSum > MaxSum ) MaxSum = ThisSum;}}return MaxSum;}int MaxSubseqSum2 ( int a[], int n ) {//稍微简单点的办法，二重循环，O（N^2）int ThisSum, MaxSum = 0;for ( int i = 0; i < n; i++ ) {ThisSum = 0;//重置？？？for ( int j = i; j < n; j++ ) { //j=i重点ThisSum += a[j];if ( ThisSum > MaxSum ) MaxSum = ThisSum;}}return MaxSum;}int Max3 ( int A, int B, int C ) {//返回3个整数中的最大值return A > B ? (A > C ? A : C) : (B > C ? B : C);//先从A和B找出大的数，如果A大，那么再从A和C中找大的；反之亦然}int DivideAndConquer ( int List[], int left, int right ) {//分治法求List[left]到List[right]的最大子列和int MaxLeftSum, MaxRightSum; //存放左右子问题的解int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; //存放跨分界线的结果int LeftBorderSum, RightBorderSum;int center, i;if ( left == right ) { //递归的终止条件，子列只有1个数字if ( List[left] > 0 ) return List[left];else return 0;}//下面是“分”的过程center = ( left + right ) / 2; //找到中分点//递归求得两边子列的最大和MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center + 1, right );//下面求跨分界线的最大子列和MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;for ( int i = center; i >= left; i-- ) { //从中线向左扫描LeftBorderSum += List[i];if ( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;}MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;for ( i = center + 1; i <= right; i++ ) { //从中线向右扫描RightBorderSum += List[i];if ( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )MaxRightBorderSum = RightBorderSum;}//下面返回“治”的结果return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );}int MaxSubseqSum3 ( int a[], int n ) {            //分而治之  O（N*logN）return DivideAndConquer( a, 0, n - 1 );}int MaxSubseqSum4 ( int a[], int n ) {          //在线处理    O（N）int ThisSum = 0, MaxSum = 0;for ( int i = 0; i < n; i++ ) {ThisSum += a[i];if ( ThisSum > MaxSum ) MaxSum = ThisSum;else if ( ThisSum < 0 ) ThisSum = 0;   //负数不可能使后面的部分和增大，抛弃}return MaxSum;}double running_time ( int (*func)( int a[],int n ), int a[], int K ) { //函数中要实用数组a，因此作为形参start = clock();for ( int i = 0; i < MAXK; i++ )(*func)( a, K );stop = clock();duration = (double)(stop-start) / CLK_TCK;//本应该再除MAXK，这里为了简便，只为比较大小return duration;}int main(){int a[N], K;scanf("%d", &K);for ( int i = 0; i < K; i++ ) {scanf("%d", &a[i]);}//printf( "MaxSubseqSum1=%d\n",MaxSubseqSum1( a, K ) );//printf( "the running time of MaxSubseqSum1 is %lf\n\n", running_time( MaxSubseqSum1, a, K ) );//调用函数作为形参时，只需函数名//printf( "MaxSubseqSum2=%d\n",MaxSubseqSum2( a, K ) );//printf( "the running time of MaxSubseqSum2 is %lf\n\n", running_time( MaxSubseqSum2, a, K ) );//printf( "MaxSubseqSum3=%d\n",MaxSubseqSum3( a, K ) );//printf( "the running time of MaxSubseqSum3 is %lf\n\n", running_time( MaxSubseqSum3, a, K ) );//printf( "MaxSubseqSum4=%d\n",MaxSubseqSum4( a, K ) );//printf( "the running time of MaxSubseqSum4 is %lf\n\n", running_time( MaxSubseqSum4, a, K ) );//printf( "%d", MaxSubseqSum1( a, K ) ); //1w和10w个数据超时//printf( "%d", MaxSubseqSum2( a, K ) ); //10w个数据花了10s//printf( "%d", MaxSubseqSum3( a, K ) );printf( "%d", MaxSubseqSum4( a, K ) );system("pause");return 0;}