动态规划--最长公共子序列和公共子串

一开始以为最长公共子序列就是最长公共子串，然而并不是。

子串，在位置上必须是连续的，但是子序列却不用。子序列是不改变原有字符的顺序，去掉其中的一些字符得到的序列，比如  aabbccdef,那么abcdef 是它的一个子序列。

再比如我们现在字符串  abcdef  和  abcedf ，最长公共子串明显是 abc，但是最长的公共子序列是 abcef 。

一个长度为 n 为的字符串，有 2^n 个子序列。每个子序列跟另一个字符串匹配，需要的时间O(m) ,所以总的时间复杂度为 (2^n)*m，指数型的复杂度显然是不理想的。

接下来我们利用动态规划的思想。我们设置一个二维数组 C[n+1][m+1] 来存储最长的子序列。C[ i ][ j ] 表示长度为 i 和长度为 j 的两个字符串的最长公共子序列。我们知道，如果其中一个字符串为空（长度为 0 ）那么最长的公共子序列长度为 0 ，所以 C[0][ j ] = 0 , C[ i ][0] = 0 。时间复杂度为 O(n*m) 。状态转移方程：

最长公共子序列，常用于检查字符串的相似度。

我们也可以用动态规划的方法求解最长公共子串，类比上面的最长公共子序列，时间复杂度为 O(n*m)，状态转移方程：

Max( C[ i ] [ j ] ) 就是最长公共子串的长度。

当然，也可以不用动态规划的方法求出最长公共子串,时间复杂度为O(n*m) ，并且不需要额外的辅助数组。具体的实现是：遍历字符串s1，并 将 s1 的每个字符与另一个字符串 s2 的字符比较，如果不想同则与 s2 的下一个字符比较；如果相同那么比较  s1 和 s2 的下一个字符，以此类推。统比较的过程统计相同的字符，最后得到的最大值就是最大子串的长度。

以上三个不同的方法的具体实现如下：

package com.hunter.Offer_Example;import java.util.Scanner;public class longestComSubString {//动态规划，公共子序列public int getLongest(String s1,int n,String s2,int m){int[][] dp = new int[n+1][m+1];for(int i = 0; i < n; i++)dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i < m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){if(s1.charAt(i - 1) == s2.charAt(j - 1))dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}return dp[n][m];}//动态规划，最长公共子串private int dpGetLongestSameSubStr(String s1,int n,String s2,int m){int max = 0;int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];//初始化 0for(int i = 0; i < n; i++)dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i < m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1 ; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){if(s1.charAt(i - 1) == s2.charAt(j - 1)){dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;if(dp[i][j] >= max)max = dp[i][j];}elsedp[i][j] = 0;}}return max;}//最长公共子串private int getLongestSameSubStr(String s1,int n, String s2,int m) {// TODO Auto-generated method stubif(s1 == null || s2 == null)return 0;int d = 0;for(int i = 0; i < n; i++){int k = i;int count = 0;for(int j = 0; j < m && k < n; j++){if(s1.charAt(k) == s2.charAt(j)){count++;k++;if(count >= d){d = count;}}else{if(k != i){count = 0;k = i;}}}}return d;}}