HOJ-1983-Beautiful numbers

ACM模版

描述

题解

这是西安邀请赛的一道模拟赛题，也是 CF 上的原题。很明显是数位 dp，也是树归。

这个题不是我自己做出来的，是看了别人的题解搞懂的，虽然看出来了是 dp，一开始却没有想出来怎么搞。

既然要求 [x,y] 区间有多少个数满足能够整除数位中任意非零数，那么我们不妨设 dp[i][j][k]，表示当前已经算到了第 i 位，当前数为 j，各个位乘积为 k 的状态，但是很明显无法开这么大的空间，所以这里就要用到空间优化了。

各个数位的乘积可以优化为 1 9 的最小公倍数的约数，这个最小公倍数是 2520，暴力初始化一下有多少个约数即可，约数用 hash 来优化一下存储节省空间。

这时，当前数 j 也就变得非常非常小了，最大为 2520，这是因为 j % k == 0 等价于 j % 2520 % k == 0。

所以最后我们只需要 dp[i][j][k]，i 最大为20，j 最大为2520，k 最大为2520的约数个数，约莫着开 dp[20][2525][55] 也就够了。

代码

#include <iostream>using namespace std;typedef long long ll;const int MAXI = 20;const int MAXJ = 2525;const int MAXK = 55;const int MAXN = 2520;ll dp[MAXI][MAXJ][MAXK];int digit[MAXI];int hash_[MAXJ];int gcd(int a, int b){    if (!b)    {        return a;    }    return gcd(b, a % b);}int lcm(int a, int b){    return a / gcd(a, b) * b;}ll dfs(int pos, int num, int mod, bool flag){    if (pos == 0)    {        return num % mod == 0;    }    if (flag && dp[pos][num][hash_[mod]] != -1)    {        return dp[pos][num][hash_[mod]];    }    int tag = flag ? 9 : digit[pos];    ll ans = 0;    for (int i = 0; i <= tag; i++)    {        ans += dfs(pos - 1, (num * 10 + i) % MAXN, i ? lcm(mod, i) : mod, flag || i < tag);    }    if (flag)    {        dp[pos][num][hash_[mod]] = ans;    }    return ans;}ll calc(ll x){    if (x < 0)    {        return 0;    }    int len = 0;    while (x)    {        digit[++len] = x % 10;        x /= 10;    }    return dfs(len, 0, 1, 0);}//  计算 MAXN 所有的约数void init(){    memset(dp, -1, sizeof(dp));    int cnt = 0;    for (int i = 1; i * i <= MAXN; i++)    {        if (MAXN % i == 0)        {            hash_[i] = cnt++;            if (i * i != MAXN)            {                hash_[MAXN / i] = cnt++;            }        }    }}int main(){    init();    ll x, y;    while (~scanf("%lld%lld", &x, &y))    {        printf("%lld\n", calc(y) - calc(x - 1));    }    return 0;}