四元数与旋转——学习笔记(二)

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四元数与旋转——学习笔记(一)
四元数与旋转——学习笔记(二)
四元数与旋转——学习笔记(三)

三、四元数旋转算子

四元数原本是表示四维空间R4的，而在对三维空间R3的向量v=(xv,yv,zv)进行运算时使用的是纯四元数，该四元数的实数部分为0。因此向量v的四元数表示为xvi^+yvj^+zvk^或 0<xv,yv,zv>。

定义单位四元数 q 对向量 v 作用的算子为
(10)

Lq(v)==qvq∗(q20−∥q∥2)v+2(q⋅v)q+2q0(q×v)

此算子有两个性质：

1. 算子Lq不改变向量v的模长
   ∥Lq(v)∥===∥qvq∗∥|q|⋅∥v∥⋅|q∗|∥v∥
2. 若v是沿着q的方向，则算子Lq不会改变v。证明，假设v=kq，则：
   qvq∗====q(kq)q∗(q20−∥q∥2)kq+2(q⋅kq)q+2q0(q×kq)k(q20+∥q∥2)qkq

根据这两个性质，可以把Lq想象成v绕着q旋转。Lq在三维空间R3是线性的，即对于给定的任意两个向量v1,v2∈R3，任意两个实数a1,a2∈R有：

Lq(a1v1+a2v2)=a1Lq(v1)+a2Lq(v2)

定理1
对于给定的任意单位四元数
(11)

q=q0+q=cosθ2+u^sinθ2

和任意向量v∈R3，算子

Lq(v)=qvq∗

等价于v以u^为轴旋转了θ。

证明：
给定一个向量v∈R3，将它分解成v=a+n，其中 a 是方向沿着向量 q 的方向的分量，而 n 是与 q 垂直的分量。由前面的性质可知 a 在Lq变换下保持不变，而 n 是绕 q 旋转了角度θ。因为Lq是线性的，实际上可以将qvq∗看成是v 是绕 q 旋转了角度θ。
Lq主要作用在与之垂直的分量 n 上，因此
(12)

Lq(n)====(q20−∥q∥2)n+2(q⋅n)q+2q0(q×n)(q20−∥q∥2)n+2q0(q×n)(q20−∥q∥2)n+2q0∥q∥(u^×n)(q20−∥q∥2)n+2q0∥q∥n⊥

其中u^=q/∥q∥，n⊥=u^×n，n⊥ 与 n 的模长相等，即

∥n⊥∥=∥n×u^∥=∥n∥⋅∥u^∥sinπ2=∥n∥

根据定理1(11)给定的任意四元数q，有

Lq(n)==(cos2θ2−sin2θ2)n+2cosθ2sinθ2n⊥cosθn+sinθn⊥

即结果向量是 n 在 n 和 n⊥ 构成的平面上旋转了 θ，旋转轴垂直于该平面，如下图所示。

注意旋转了 2π+θ 和旋转了 θ 是一样的，即L−q=(−q)v(−q)∗=qvq∗=Lq
将(11)带入(10)得到v绕轴 u^ 旋转 θ 后的向量
(13)

Lq(n)==(cos2θ2−sin2θ2)v+2(u^sinθ2⋅v)u^sinθ2+2cosθ2(u^sinθ2×v)cosθ⋅v+(1−cosθ)(u^⋅v)u^+sinθ⋅(u^×v)

(10)可以重新写成

Lq(v)=((q20−∥q∥2)I3×3+2qqT+2q0q×)v

其中I3×3是单位矩阵，且

q×=⎡⎣⎢0q3−q2−q30q1q2−q10⎤⎦⎥

所以 v 绕 q 旋转的旋转矩阵可以定义为

R=(q20−∥q∥2)I3×3+2qqT+2q0q×

定理2
对于给定的任意单位四元数

q=q0+q=cosθ2+u^sinθ2

和任意向量v∈R3，算子

L∗q(v)=q∗v(q∗)∗=q∗vq

等价于v不动，坐标系以u^为轴旋转了 θ。
或者等价于坐标系不动，v以u^为轴旋转了 −θ。

四、四元数旋转算子序列

假设 p 和 q 是两个单位四元数，向量 u 首先通过 Lp 得到向量 v，v 又通过 Lq 得到向量 w，这两次连续转换(旋转)可以写成：

w=====Lq(v)qvq∗q(pup∗)q∗qpu(qp)∗Lqp(u)

因为 p 和 q 是两个单位四元数，所以 qp 也是单位四元数。w 是 u 先绕 p 旋转再绕 q 旋转得到，也可以看成绕四元数 qp 的向量旋转后得到。注意，先使用旋转的四元数在右边。同理 u 不动，坐标系旋转时 Lq∗(Lp∗(u))=L(pq)∗(u)，同时注意 pq 的顺序和前面的相反。

参考文献
Yan-Bin Jia. Quaternion and Rotation

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