bzoj 3233: [Ahoi2013]找硬币 动态规划

题意

小蛇是金融部部长。最近她决定制造一系列新的货币。假设她要制造的货币的面值为x1,x2,x3… 那么x1必须为1，xb必须为xa的正整数倍（b>a）。例如 1，5，125，250就是一组合法的硬币序列，而1，5，100，125就不是。不知从哪一天开始，可爱的蛇爱上了一种萌物——兔纸！从此，小蛇便走上了遇上兔纸娃娃就买的不归路。某天，小蛇看到了N只可爱的兔纸，假设这N 只兔纸的价钱分别是a1,a2…aN。现在小蛇想知道，在哪一组合法的硬币序列下，买这N只兔纸所需要的硬币数最少。买兔纸时不能找零。
1<=N<=50, 1<=ai<=100,000

分析

咋一看真的是啥思路都没。
再仔细想了一下，发现如果我从大到小制定面值的话，设当前取到的面值为x，那么无论我之前取了什么，当前所有的兔子剩下要给的钱必然都是a[i]%x。
那么我们就可以从后往前dp。
设f[i]表示当前最小面值为i时的最少付钱次数。
初值f[i]=∑nj=1a[j]/i
设p为f[i]的一个素因数，那么f[i]可以转移到f[i/p]=min(f[i/p],f[i]+∑nj=1a[j]modi/(i/p))
那么我们只要线性筛预处理，然后枚举所有i的素因数就好了。
f[1]即为答案。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int N=55;const int M=100005;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,a[N],f[M],prime[M],tot,low[M];bool not_prime[M];void get_prime(int n){    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i,low[i]=i;        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)        {            not_prime[i*prime[j]]=1;            low[i*prime[j]]=prime[j];            if (i%prime[j]==0) break;        }    }}int main(){    scanf("%d",&n);    int mx=0;    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),mx=max(mx,a[i]);    get_prime(mx);    for (int i=1;i<=mx;i++) f[i]=inf;    for (int i=mx;i>=1;i--)    {        int s=0;        for (int j=1;j<=n;j++) s+=a[j]/i;        f[i]=min(f[i],s);        int x=i;        while (x>1)        {            int y=i/low[x],s=0;            for (int j=1;j<=n;j++) s+=a[j]%i/y;            f[y]=min(f[y],f[i]+s);            y=low[x];            while (x%y==0) x/=y;        }    }    printf("%d",f[1]);    return 0;}