扩展欧几里得

首先、扩展欧几里得定理：对于两个不全为0的整数a、b，必存在一组解x,y，使得ax+by==gcd(a,b);

实现如下：

int gcd(int a,int b){    int t,d;    if(b==0)    {        x=1;        y=0;   //不明处1return a;    }    d=gcd(b,a%b);    t=x;    x=y;    y=t-(a/b)*y;  //不明处2return d;}

上面的程序中,x和y我是用全局变量保存的

我个人觉得第一次看到这个程序你会有以上两个不明白的地方（见注释），下面我分别解释

不明处1：由扩展欧几里得定理：ax+by==gcd(a,b)—式1，而此时b==0，也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a –> x==1,y==0。应该够清楚了吧

不明处2：这里先说明一下我的一些规则，x,y表示第一次递归时的值，x1,y1表示第二次递归时的值。那么

gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下

b*x1+(a%b)y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b(x1-(a/b)y1)，最终得到ax+by==a*y1+b(x1-(a/b)*y1)

也就是说，上一深度的x等于下一深度的y1，上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。 需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法

到这里为止，我们便得到了不定式ax+by==gcd(a,b)的一组解，x、y。

那么对于一般的不定式ax+by==c，它的解应该是什么呢。很简单，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))。很好理解吧~

再深入一点，就解出这么一组解其实一般来说是解决不了什么问题的。没有哪个ACM的题这么简单吧。。。比如我们现在要得到所有的解，那么这所有的解究竟是什么呢？

直接说吧,假设d=gcd(a,b). 那么x=x0+b/d*t; y=y0-a/d*t;其中t为任意常整数。

这个是怎么推导出来的，说实话我也不知道，就先这么记着吧！

http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/09/02/2164404.html