矩阵求逆引理(matrix inversion lemma)
来源:互联网 发布:单片机连接马达 编辑:程序博客网 时间:2024/05/19 13:55
若矩阵A∈CN×N,C∈CN×N,均为非奇异矩阵(矩阵可逆),矩阵B∈CN×M,D∈CM×N,则矩阵A+BCD具有逆矩阵:
(A+BCD)-1=A-1-A-1B(DA-1B+C-1)-1DA-1
后来找到了一个比较简单的方法,虽然可能不很严密,但是如果需要使用这个引理而又不记得具体表达时,就可以用手推出来。
首先必须记住的是可逆矩阵A+BCD的逆可以表示成A-1+X,其中X为未知矩阵,这样一来,确定A+BCD阵的逆的问题就转化为解一个关于X的方程的问题。
∵A-1+X=(A+BCD)-1;
∴(A+BCD)(A-1+X)=E(E为单位阵,eye阵);
E+AX+BCDA-1+BCDX=E;
AX+BCDA-1+BCDX=0(0为0矩阵);
(A+BCD)X+BCDA-1=0;
X=-(A+BCD)-1BCDA-1;
X=-[B(B-1A+CD)]-1BCDA-1;
X=-(B-1A+CD)-1CDA-1;
X=-[C(C-1B-1A+D)]-1CDA-1;
X=-(C-1B-1A+D)-1DA-1;
X=-[(C-1B-1+DA-1)A]-1DA-1;
X=-A-1(C-1B-1+DA-1)-1DA-1;
X=-A-1[(C-1+DA-1B)B-1]-1DA-1;
X=-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1;
将其带入A-1+X,就得到了引理的结果:
(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1;
总之只要记住A+BCD的逆可以表示成A-1+X的形式,那么这个矩阵求逆引理是无论如何能够推出来的。
来源: http://blog.csdn.net/yihaizhiyan/article/details/6084383
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