动态规划初步1(LRJ紫书)
来源:互联网 发布:ubuntu应用商店慢 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 19:04
最近重新开始看DP啦。数塔问题是第一次学DP的时候的第一道题。很经典。
数塔问题。
https://vjudge.net/problem/HDU-2084
从第一行的数开始,每一次可以选择往左下方走或者右下方走。直到走到最后一行。并且求出到最后一行的家和最大值为多少?
动态规划的核心是状态以及状态转移。
对于这个题目来说,我们可以把问题描述成在(i,j)处的加和最大值记为dp[i][j]。
并且我们知道,当前的最大和就等于左下方的最大和加上a[i][j]和右下方的最大和加上a[i][j]之中大的那个。
状态转移方程就可以写成:dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];。
对于每一次我们都可以得到当前的最大值可以称为最优子结构性质,全局最优解包含局部最优解。
记忆化搜索与递推。
已经得出了状态转移方程,我们很容易就想到了递归。
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;int a[105][105];int n;//层数int solve(int i,int j){ if(i==n) return a[i][j]; else return a[i][j]+max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));}int main(){ cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=i;j++){ cin>>a[i][j]; } } cout<<solve(1,1)<<endl;}
然后就发现递归非常非常的慢。对于每一个节点都有两种选择。还都很多节点进行了重复的计算,所以我们想到了记忆化搜索。对于已经计算过的节点,我们想把她们存起来,下一次在计算的时候直接拿出来用就可以了。
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;int a[105][105];int dp[105][105];int n;//层数int solve(int i,int j){ if(dp[i][j]>=0) return dp[i][j]; if(i==n) return dp[i][j]=a[i][j]; else return a[i][j]+max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));}int main(){ cin>>n; memset(dp,-1,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=i;j++){ cin>>a[i][j]; } } cout<<solve(1,1)<<endl;}
但是这样的效率还是非常的低的。于是我们想到了递推不要递归。
HDU 2084 AC代码
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;int a[105][105];int dp[105][105];int n;//层数void solve(){ for(int i=1;i<=n;i++){ dp[n][i]=a[n][i]; } for(int i=n-1;i>0;i--){ for(int j=1;j<=i;j++){ dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]); } }}int main(){ int T; cin>>T; while(T--){ cin>>n; memset(dp,-1,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=i;j++){ cin>>a[i][j]; } } solve(); cout<<dp[1][1]<<endl; } return 0;}
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