[JZOJ5132][SDOI省队集训2017]子序列

题目大意

字符集为9的字符串。
若干次询问区间本质不同的子序列个数。

考虑暴力

子序列要求本质不同。
假如每个位置向后每种字符的第一个位置连单向边。
设置一个虚点向区间每种字符第一个位置连单向边。
那么就是这个虚点出发有多少走法。
用另一种形式，你设f[i,j]表示最后走到了i，是从区间j第一次出现的位置开始走的，有多少走法。
你考虑i左移一格如何更新，发现
对于新的i，有f[i][a[i]]=1。
对于其他的i，有f[i][a[i]]=∑9j=1f[i][j]
假如当前做到l，[l,r]的答案是
∑ri=l∑9j=1f[i][j]
我们继续用另一种形式表达如何计算[l,r]的答案。
有一个长度为9的ans数组，ans[i]=∑rj=lf[j][i]
它初始全0。接下来扫[l,r]的每一位，扫到i时做下列变化
ans[a[i]]=1+∑9j=1ans[j]
最后的答案显然是
∑9j=1ans[j]

考虑优化

用一个1*10的矩阵存下ans，最后加一个常数1。
于是每次ans的变化可以用10*10的矩阵表示。
于是第i个位置有一个矩阵A[i]。
只要我们能求得[l,r]的A的积，就可以得到答案。
我们发现这个矩阵是可逆的，可以求出B[i]表示逆矩阵。
那么只要计算
B[l−1]∗B[l−2]∗…∗B[1]∗A[1]∗…∗A[r]
即可。
于是可以预处理前缀和。
注意每次询问不要先算两个10*10矩阵的积，再与1*10矩阵相乘，直接用1*10矩阵乘过去即可。

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=100000+10,mo=1000000007;int a[9][10][10],b[9][10][10],sum[maxn][10][10],num[maxn][10][10],o[10][10],c[10],d[10];char s[maxn];int i,j,k,l,r,t,n,m,ans;bool czy;int read(){    int x=0,f=1;    char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9'){        if (ch=='-') f=-1;        ch=getchar();    }    while (ch>='0'&&ch<='9'){        x=x*10+ch-'0';        ch=getchar();    }    return x*f;}int qsm(int x,int y){    if (!y) return 1;    int t=qsm(x,y/2);    t=(ll)t*t%mo;    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;    return t;}void getb(int x){    int i,j,k,t;    fo(i,0,9)        b[x][i][i]=1;    fo(i,0,9){        fo(j,i,9)            if (a[x][j][i]){                fo(k,i,9){                    swap(a[x][j][k],a[x][i][k]);                    swap(b[x][j][k],b[x][i][k]);                }                break;            }        fo(j,i+1,9){            t=(ll)a[x][j][i]*qsm(a[x][i][i],mo-2)%mo;            fo(k,i,9){                (a[x][j][k]-=(ll)a[x][i][k]*t%mo)%=mo;                (b[x][j][k]-=(ll)b[x][i][k]*t%mo)%=mo;            }        }    }    fd(i,9,0){        fo(j,i+1,9)            if (a[x][i][j]){                fo(k,i,9){                    (a[x][i][k]-=a[x][j][k])%=mo;                    (b[x][i][k]-=b[x][j][k])%=mo;                }            }    }}int main(){    freopen("sub.in","r",stdin);freopen("sub.out","w",stdout);    scanf("%s",s+1);    n=strlen(s+1);    fo(i,0,8){        fo(j,0,9) a[i][j][j]=1;        fo(j,0,9) a[i][j][i]=1;        getb(i);        fo(j,0,9)            fo(k,0,9)                a[i][j][k]=0;        fo(j,0,9) a[i][j][j]=1;        fo(j,0,9) a[i][j][i]=1;    }    /*fo(i,0,9)        fo(j,0,9)            o[i][j]=0;    fo(k,0,9)        fo(i,0,9)            fo(j,0,9)                (o[i][j]+=(ll)a[1][i][k]*b[1][k][j]%mo)%=mo;    czy=1;    fo(i,0,9)        fo(j,0,9)            if (o[i][j]!=(i==j?1:0)){                czy=0;                break;            }    printf("%d\n",czy);*/    fo(i,0,9) sum[0][i][i]=num[0][i][i]=1;    fo(l,1,n){        t=s[l]-'a';        fo(i,0,9)            fo(j,0,9)                o[i][j]=0;        fo(k,0,9)            fo(i,0,9)                fo(j,0,9)                    (o[i][j]+=(ll)sum[l-1][i][k]*a[t][k][j]%mo)%=mo;        fo(i,0,9)            fo(j,0,9)                sum[l][i][j]=o[i][j];        fo(i,0,9)            fo(j,0,9)                o[i][j]=0;        fo(k,0,9)            fo(i,0,9)                fo(j,0,9)                    (o[i][j]+=(ll)b[t][i][k]*num[l-1][k][j]%mo)%=mo;        fo(i,0,9)            fo(j,0,9)                num[l][i][j]=o[i][j];    }    m=read();    while (m--){        l=read();r=read();        fo(i,0,9) c[i]=d[i]=0;        c[9]=1;        fo(k,0,9)            fo(j,0,9)                (d[j]+=(ll)c[k]*num[l-1][k][j]%mo)%=mo;        fo(i,0,9) c[i]=d[i],d[i]=0;        fo(k,0,9)            fo(j,0,9)                (d[j]+=(ll)c[k]*sum[r][k][j]%mo)%=mo;        ans=0;        fo(i,0,8) (ans+=d[i])%=mo;        (ans+=mo)%=mo;        printf("%d\n",ans);    }}