LintCode题解(2)--尾部的零

问题描述

设计一个算法，计算出n阶乘中尾部 0 的个数

样例

11! = 39916800，因此应该返回2

解题思路

首先考虑，如果 N! = K * 10^M，且 K 不能被 10 整除，那么 N! 末尾有 M 个 0。考虑对 N！进行质因数分解，N! = 2^x * 3^y * 5^z…，由于 10 = 2 * 5，所以 M 只和 x 与 z 有关，每一对 2 和 5 相乘可以得到一个 10，于是 M = min{x, z}，因为能被 2 整除的数出现的频率比能被 5 整除的数高的多，所以 M = z。所以原问题可以转化为 1 ~ n 所有的数中，一共含有多少个质因子 5 。这里我们利用下面的公式求解:
z = n/5 + n/5² + n/5³ + …(这不会是一个无穷的运算，总存在一个 k，使得 5^k > n，n/5^k = 0)

理解起来就是 1 ~ n 中有 n/5 个数，这每个数都能贡献一个 5，然后 1 ~ n 中有 n/5² 个数，这每个数又能贡献一个 5 …以此类推。
以上分析参考自《编程之美》。

解题代码

class Solution { public:    // param n : description of n    // return: description of return     long long trailingZeros(long long n) {        long long count = 0;        while(n){            count += n / 5;            n /= 5;        }        return count;    }};

扩展进阶

求 n! 的二进制表示中最低位 1 的位置。（规定最右的位置为位置 0）
最低位的 1 在哪个位置上，取决于 1~n 的数中有多少个质因子 2，因为只要出现一个质因子 2，最低位的 1 就会向左位移一位，利用下面的公式求解：
质因子 2 的总个数 = n/2 + n/4 + n/8 + …

long long lowestOne(long long n) {    long long res = 0;    while(n){        n >>= 1;        res += n;    }    return res;}

另外还可以通过下面这个规律求解：
n! 含有质因子 2 的个数还等于 n 减去 n 的二进制表示中 1 的数目。 下面来证明这个结论：
我们把 n 的二进制表达式中 1 的个数记为 m，也就是要证明 n/2 + n/4 + n/8 + … = n - m，因为除法结果是向下取整，所以左边的式子加的最后一个非零数为 1,根据等比数列求和公式 s = (首项 - 末项 * 公比）/(1 - 公比），可以得到 n/2 + n/4 + n/8 + … + 1 = n - 1。
如果在n的二进制表达中有 m 个 1，那么 n = k1 + k2 + … + km，其中 k 等于 2 的某次方，所以 n/2 + n/4 + n/8 + … = （k1 + k2 + … + km）/2 + （k1 + k2 + … + km）/4 + … = k1/2 + k1/4 + k1/8 + … +1 + k2/2 + k2/4 + … + 1 + … +km/2 + km/4 + … + 1 = k1 - 1 + k2 - 1 + … + km - 1 = n - m。即证！

long long lowestOne2(long long n) {    long long count = 0;    long long temp = n;    while(temp){        temp &= (temp - 1);        count++;    }    return n - count;}