2017年第0届浙江工业大学之江学院程序设计竞赛决赛--A(二分法+容斥原理)

Problem A: qwb与支教

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Description

qwb同时也是是之江学院的志愿者，暑期要前往周边地区支教，为了提高小学生的数学水平。她把小学生排成一排，从左至右从1开始依次往上报数。

玩完一轮后，他发现这个游戏太简单了。于是他选了3个不同的数x,y,z；从1依次往上开始报数，遇到x的倍数、y的倍数或z的倍数就跳过。如果x=2,y=3,z=5；第一名小学生报1，第2名得跳过2、3、4、5、6，报7；第3名得跳过8、9、10，报11。

那么问题来了，请你来计算，第N名学生报的数字是多少？

Input

多组测试数据，处理到文件结束。（测试数据数量<=8000）

每个测试例一行，每行有四个整数x,y,z,N。（ 2≤x,y,z≤107,1≤N≤1017）。

Output

对于每个测试例，输出第N名学生所报的数字，每个报数占一行。

Sample Input

2 3 5 26 2 4 10000

Sample Output

719999

HINT

想法：二分法+容斥原理

用二分法找1到1e18之间的任何数（mid是我们现在在找的那个数）

为了好说明我们用pw（（x，y），mid）表示1到这个数有多少个数即是x的倍数又是y的倍数

容斥原理：

1到这个数有多少个数是（x，y，z）三个数的倍数=pw（（x），mid）+pw（（y），mid）+pw（（z），mid）-pw（（x，y），mid）-pw（（y，z），mid）-pw（（x，y，z），mid）+pw（（x，y，z），mid）

公式：mid/x+mid/y+mid/z-mid/lcm(x,y)-mid/lcm(x,z)-mid/lcm(y,z)+mid/lcm(lcm(x,y),z)

注（lcm（x，y）为求最小公倍数）

那1到mid这个数中有多少个数是学生报的数字=mid-(mid/x+mid/y+mid/z-mid/lcm(x,y)-mid/lcm(x,z)-mid/lcm(y,z)+mid/lcm(lcm(x,y),z))

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <stdio.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll gcd(ll x,ll y)//用欧几里得求最大公约数
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
ll lcm(ll x,ll y)//用最大公约数求最小公倍数
{
    ll g=gcd(x,y);
    return x/g*y;
}
ll x,y,z,n;
int check(ll mid)//容斥原理
{
    ll res=mid-(mid/x+mid/y+mid/z-mid/lcm(x,y)-mid/lcm(x,z)-mid/lcm(y,z)+mid/lcm(lcm(x,y),z));
    if(res>=n)  return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    while(~scanf("%lld %lld %lld %lld",&x,&y,&z,&n))
    {
        ll low=1,high=1e18,mid,ans;
        while(low<=high)//二分法查找
        {
            mid=(low+high)/2;
            if(check(mid)==1)
            {
              high=mid-1;
              ans=mid;
            }
            else
                low=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

优化代码：

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include <algorithm>
#define MAXN 1e18
using namespace std;
long long lcm(long long a,long long b)
{
    long long ans=a/__gcd(a,b);
    if(MAXN/ans<b) return 0;
    return ans*b;
}
int main(void)
{
    long long t,ans,mid,left,right,x,y,z,n;
    while (~scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&z,&n))
    {
        left=0,right=MAXN;
        while(left<right-1)
        {
            mid=(left+right)/2;
            ans=mid/x+mid/y+mid/z-mid/lcm(x,y)-mid/lcm(y,z)-mid/lcm(x,z);
            t=lcm(lcm(x,y),z);
            if(t) ans+=mid/t;
            if(mid-ans>=n)
                right=mid;
            else
                left=mid;
        }
        printf("%lld\n",right);
    }
    return 0;
}