斜率优化专题

应用范围

• 对于一些问题我们可以化成k∗x+y最值的问题我们可以通过凸包的制造是最优解满足单调性质（当k有序是此时我们用到的节点以后一定不会用到）

流程

• 寻找表达式，并判断是取最大还是最小值（虽然是相对的）
• 造凸包（上下凸包）
• 查询答案

凸包的制造和查询

• 我们先处理x和k都有序的情况（不递减）
  
  • 根据它的单调性我们可以用双端队列维护

bool delt(P a,P b,P c){    return 1ll*(b.y-a.y)*(c.x-b.x)<=1ll*(c.y-b.y)*(b.x-a.x);//这里是造上凸包}/********构造凸包********/ stk[++t]=p[1];stk[++t]=p[2];for(int i=3;i<=n;++i){    while(t>1&&delt(stk[t-1],stk[t],p[i]))--t;    stk[++t]=p[i];}/********查询凸包********/for(int i=1,l=1;i<=m;++i){    //i时没有用到的在i之后都不会被使用到了    while(l<t&&calc(l+1,Q[i].x)>=calc(l,Q[i].x))++l;    ans[Q[i].y]=calc(l,Q[i].x);}

• 对于某些问题其x和k并不是有序的我们需要通过一些处理完成
  
  • 当k不是有序的时候，我们可以通过三分转二分的方法来实现

/********查询凸包********/for(int i=1;i<=m;i++){    scanf("%d",&k);    int l=1,r=t-1,res=t;    while(l<=r){        int mid=l+r>>1;        if(calc(mid,k)>=calc(mid+1,k))r=mid-1,res=mid;        else l=mid+1;    }    printf("%lld\n",calc(res,k));   }

• 当x不是有序的时候就麻烦了，我们需要用CDQ分治
  
  • 对于每一层分治我们造一个凸包，用左边的信息来更新右边的信息

ll get(int k){    int l=1,r=t;    while(l<r){        int mid=l+r>>1;        if(calc(mid,k)<calc(mid+1,k))r=mid;        else l=mid+1;    }return calc(l,k);}void CDQ(int l,int r){    if(l==r)return;    int mid=l+r>>1;    CDQ(l,mid);    sort(p+l,p+mid+1);t=0;    /********构造凸包********/     for(int i=l;i<=mid;i++)if(!cmd[p[i].id]){        while(t>1&&Delt(Q[t-1],Q[t],p[i]))--t;        Q[++t]=p[i];    }/********查询凸包********/    for(int i=mid+1;i<=r;++i)if(cmd[p[i].id]==1){        if(!mark[p[i].id]){            ans[p[i].id]=get(k[p[i].id]);            mark[p[i].id]=1;        }else Min(ans[p[i].id],get(k[p[i].id]));    }CDQ(mid+1,r);}

*奇葩的删除操作

inline void CDQ(int l,int r){    if(l==r)return;    int mid=l+r>>1,i;    CDQ(l,mid);CDQ(mid+1,r);    m=0;    //我们先取[l,mid]的节点且在[mid+1,r](del[i]>r)没有被删     for(i=l;i<=mid;++i)if(!cmd[i]&&del[i]>r)A[++m]=p[i];    init();    //更新[mid+1,r]的答案     for(;i<=r;++i)if(cmd[i]==1)Min(i,get(p[i].x));    m=0;    //我们再利用[mid+1,r]中被删掉的点且不是在[l,mid]被添加的点(st[i]<l)     for(i=mid+1;i<=r;++i)if(cmd[i]==2&&st[i]<l)A[++m]=p[st[i]];    init();    //更新[l,mid]的答案      for(i=l;i<=mid;++i)if(cmd[i]==1)Min(i,get(p[i].x));}